两类泊车函数上的组合学

Parking functions have been extensively studied in combinatorics and graph theory. The importance of these functions is reflected by not only the close connections with many classic discrete structures in enumerative combinatorics, but also the widespread applications to some important topics in algebraic combinatorics, such as the representation theory of symmetric groups, the theory of Macdonald polynomials, and combinatorial Hopf algebras.. We shall study some set partition analogues of parking functions in the context of the Hopf algebra NCSym of symmetric functions in noncommuting variables, which have drawn much attention in recent years. Our research concentrates on two classes of parking functions arising in the study of freeness of Hopf algebras, which are atomic parking functions and unsplitable parking functions. Precisely, we shall study: (1) the generalization of relevant notions and algebraic operations on set partitions; (2) the bijection between atomic parking functions and unsplitable parking functions; (3) and the relationship between atomic permutations and unsplitable permutations via the established methods.

泊车函数是组合数学与图论中的重要研究对象，它与计数组合学中的很多经典离散结构紧密相连，并在代数组合领域的一些重要研究课题中（如对称群表示、Macdonald 多项式及组合Hopf代数等）有广泛应用。. 本项目的研究内容与代数组合学中备受关注的非交换变量的对称函数所作成的Hopf代数NCSym密切相关，我们将研究NCSym背景下集合划分相关的组合学在泊车函数上的模拟。我们重点研究与Hopf代数自由性密切相关的两类泊车函数：原子泊车函数与不可裂泊车函数。具体内容包括：（1）推广集合划分上相关概念和代数运算； （2）建立原子泊车函数与不可裂泊车函数之间的双射关系 ；（3）将有关概念和方法限制到排列上，考察原子排列与不可裂排列之间的关系。

泊车函数是组合数学和图论的重要研究对象，它不仅与排列，集合划分等经典组合结构紧密相连，而且也与对称群表示，组合Hopf代数等研究领域关系密切。本项目主要工作如下： .（1）首先，我们在泊车函数上引入了两个二元运算：斜线号乘积与分裂乘积，并进一步定义了原子泊车函数与不可裂泊车函数。我们证明了这两个运算给出了泊车函数上的两个自由幺半群结构，分别以原子泊车函数和不可裂泊车函数为自由生成元。.（2）在原子泊车函数与不可裂泊车函数之间建立了双射。该双射限定在一类特定的泊车函数上时，即为非交换变量对称函数作成的Hopf代数上的两组自由生成元之间的双射。此外，限制到排列上时，我们也可以得到一些对应结果。.（3）此外，我们目前正在尝试将这两类泊车函数与泊车函数上的Hopf代数结构推广到更一般的结构——集合{1,2,…,n}到自身的映射上。