组合矩阵论中两类问题的研究

本课题拟研究组合矩阵理论中的图的相关矩阵(邻接矩阵,反邻接矩阵,拉普拉斯矩阵等 )的代数参数及应用， 研究的代数参数主要包括矩阵的秩、特征值和特征向量和Smith标准形。 研究的主要内容如下:图的邻接矩阵的谱及其相关问题,如星补集的刻画，最小秩问题；研究图的反邻接矩阵的谱及其应用；研究图谱理论的应用，如图的能量问题；研究图的各种结构参数与相关矩阵的代数参数的关联关系；研究图的临界群的理论及应用；研究图的临界群的刻画，研究图的生成树计数方法在计算临界群的推广和改进，研究图上沙堆模型的动力系统性质。

本课题组研究了组合矩阵理论中图的相关矩阵(邻接矩阵,skew-邻接矩阵,拉普拉斯矩阵、距离矩阵等)的代数参数及应用,所研究的代数参数主要包括矩阵的秩、行列式、矩阵的逆、特征值及特征向量和Smith 标准形. 主要研究成果有: 研究了图的skew-邻接矩阵的谱及其应用; 得到了图的skew-邻接矩阵的特征多项式的系数与子结构的基本定理 ,得到了图邻接谱半径与其最大度之差的估计, 研究了图的连通性与谱根的之间的关联; 否定了图的最小秩问题的一个猜想; 研究了图谱理论的应用, 如图的能量与skew 能量的极值问题; 得到了一些块图的距离矩阵的逆矩阵的显式表达式; 研究了图的临界群的理论及应用,得到了一些图的临界群的分解; 研究了图的Tutte 多项式的计算及应用, 计算了一些复杂网络图的Tutte多项式与生成树数目,研究了图的子图多项式,得到了一些子图多项式的不变量. 研究结果促进了组合矩阵论理论的发展.