典型非线性色散波方程的相关控制问题研究

In this project, we study some control problems for three typical nonlinear dispersive wave equations and corresponding two-component equations. These problems are the current international academic hotspot in this field, which have important value both in theory and application. The research contents mainly include three aspects: firstly, optimal control problem, maximum principle and optimality conditions for Camassa-Holm equation, Novikov equation and Hunter-Saxton equation which don’t contain viscous item. Secondly, exact controllability and stability analysis for Novikov equation. The study of boundary control, feedback control and dynamic behavior of solution for Hunter-Saxton equation. Finally, we intend to break through the research of control problem for two two-component equations and solve its optimal control problem, exact controllability problem, and stability analysis. We will apply new ideas of control theory combining with new methods and techniques of mathematics to study our project. We obtain some new results after solving tough problems, which provide theoretical support for applications, and also try to use numerical analysis to verify the conclusions of theoretical research.

本项目研究3个典型非线性色散波方程和相对应的双组份方程的相关控制问题。该问题是当前本领域的国际学术热点，具有重要的理论和应用价值。研究内容主要包括3个方面：第一，无粘性Camassa-Holm方程、无粘性Novikov方程、无粘性Hunter-Saxton方程的最优控制问题、最大值原理和最优化条件研究。第二，Novikov方程的精确可控性和稳定性研究。Hunter-Saxton方程的边界控制、反馈控制和解的动力学行为研究。最后，寻求2个双组份方程控制问题研究的突破点，争取解决其最优控制问题、精确可控性问题，并进行稳定性分析。我们将应用控制理论的新思想、数学中的新方法和新技巧开展研究。我们通过突破难点获得一些新的研究结果，为其实际应用提供理论支持，并且尝试运用数值分析验证理论研究的结论。

本项目主要研究典型非线性色散波方程的相关控制问题。这些非线性偏微分方程问题来源于物理学、流体力学、天文学和材料科学等学科，具有重要的应用背景和理论价值。由于非线性项的复杂性和控制项的影响，利用数学控制理论研究这些控制问题具有一定的难度。但是，该研究领域一直受到数学界和物理学界的长期关注，其研究方法和成果对于其他相关物理模型的研究也具有一定的指导意义。主要取得以下研究成果：第一，关于Camassa-Holm方程、b族方程、Hunter-Saxton方程和Novikov方程的控制问题研究，主要证明了受控方程弱解、最优控制和最优解的存在唯一性结果，解决了解映射的Lipschitz连续性问题，获得表征最优控制的充分必要最优化条件，并且给出具体实例以及数值模拟方案和方法。第二，关于Hunter-Saxton方程在周期条件下的渐进稳定性问题研究，主要证明了闭环控制系统局部时间解的存在性结果，并且通过反馈控制获得控制系统的全局稳定性结果。第三，关于双组份Camassa-Holm方程的控制问题研究，重点考虑了它的边界可控性问题，同时获得速度变量和密度变量的局部精确可控结果。.本项目同时研究了一类更加符合现实生活中网络世界的复杂网络的相关控制问题。研究复杂网络的结构及其动力学行为，是探索复杂网络的关键。用平均陷阱时间（ATT）衡量加权网络传输信息的效率，分析参数、权重分布和网络规模对偏好游走情况下ATT的影响具有重要理论和实际意义。主要取得以下研究成果：第一，受一类酵母蛋白质相互作用网络和无标度二分网的启发，以层次迭代和加权方式构建加权无标度树状网络，通过平均陷阱时间定义和基础矩阵特征值这两种方法分别计算该网络上的陷阱点接收信息的效率，获得两类偏好游走下的ATT与权重因子、参数和谱维数之间的关系。第二，针对一类加权无标度三角状网络的特殊结构，获得两类偏好游走下ATT的精确表达式及其主要项标度，并用数值模拟验证了ATT标度行为的正确性。结果表明，根据网络结构与权重因子分布情况进行网络调整与优化，可以使得信息传输的效率变得更快。.本项目取得的重要结果已在JMP, EJC, SR, Chaos, Fractals等国际学术期刊上发表。