非线性色散波方程的分析与控制

Nonlinear dispersive wave equations play an important role in the study of fluid mechanics, quantum mechanics, optics, high-energy physics, electromagnetism, etc. Since the introduction of harmonic analysis tools in the late 1980s, the field of mathematical theory of nonlinear dispersive wave equations has experienced a striking evolution. Most of these works consider nonlinear dispersive wave equations either posed on the whole space or posed on a finite domain with periodic boundary conditions. On the other hand, in practical applications, many nonlinear dispersive wave equations are defined in some region with non-homogeneous boundary conditions. Therefore, in this project, by using modern harmonic analysis tools, we first study the well-posedness in the non-homogeneous boundary value problem of nonlinear dispersive wave equations, especially the nonlinear Schrödinger equations, Ginzburg-Landau equations and Kuramoto-Sivashinsky equations. Furthermore, through investigating the inner relationships of the solutions with known boundary value functions, we consider the boundary control problem of nonlinear dispersive wave equations.

非线性色散波方程在流体力学、量子力学、光学、高能物理、电磁学等的研究中都起着十分重要的作用。上世纪八十年代末由于调和分析工具的引入，非线性色散波方程的数学理论研究取得革命性的进展，可是这些研究大多以定义在全空间上或具有周期边界条件的有限区域上的非线性方程为对象。然而在实际应用中，非线性色散波方程更多是定义在部分区域上，并且具有非齐次的边界条件。因此，本项目首先利用现代调和分析工具研究非线性色散波方程，特别是非线性Schrödinger方程、Ginzburg-Landau方程和Kuramoto-Sivashinsky方程的非齐次边值问题的适定性。进而在适定性研究的基础上，通过发掘解与已知边值函数的内在联系，研究相应非线性色散波方程的边界控制问题。

非线性色散波方程在流体力学、量子力学、光学、高能物理、电磁学等的研究中都起着十分重要的作用。上世纪八十年代末由于调和分析工具的引入，非线性色散波方程的数学理论研究取得革命性的进展。本项目研究的非线性色散波方程定义在部分区域上，并且具有非齐次的边界条件。利用现代调和分析工具，我们首先得到了非线性Schrödinger方程、Ginzburg-Landau方程和Kuramoto-Sivashinsky方程的非齐次边值问题的适定性。然后，我们通过发掘解与已知边值函数的内在联系，得到了边界控制问题的一些结果。