变系数波方程及薛定谔方程的色散控制问题

波是自然界中最基本的物理现象之一。外域上波的色散理论又是波最基本的性质之一。本项目主要是用控制理论的思想及方法来研究外区域上具有变系数主部的波方程及薛定谔方程的色散现象，即边界外域局部能控性和边界反馈局部能量衰减问题。主要研究工具是黎曼几何方法：将黎曼几何方法与偏微分方程控制问题的传统方法相结合，克服变系数主部带来的困难，对外域问题建立相应的局部能量观测性不等式和局部能量衰减估计。

波是自然界中最基本的物理现象之一。波方程是偏微分方程及其控制的主要研究对象之一。本项目主要研究了以下几个问题：(1)具非线性边界阻尼和非线性内部源项的非线性波方程整体解和爆破解的存在性问题；(2)变系数粘性波、带声学边界条件的变系数波方程和带时滞声学边界条件的变系数波方程的适定性和反馈镇定问题；(3)在紧区域外部空间振动的变系数波方程的反馈镇定。(4)变系数波的柯西问题的高阶能量衰减性质；(5)一维波动方程的自抗扰控制和跟踪微分器设计。对于问题(1)，研究了非线性边界阻尼和非线性源项之间的相互作用及他们对方程解的作用效果，得到了整体解和爆破解存在的一些充分条件。对问题(2)和问题(3)，借助于正定的变系数矩阵建立了新的度量，利用新的乘子不等式，在一些可验证的几何条件下，分别研究了声学边界对波的反射、吸附和稳定作用，带时滞声学边界条件的变系数波的能量衰减和粘性波的能量衰减。利用黎曼几何方法研究了外域波动系统在局部阻尼作用下的反馈镇定，在一些可以验证的几何条件下，获得了能量衰减估计；对问题(4)，我们定义了波动方程的初值问题的时间加权的高阶能量，得到了时间加权能量的衰减估计；对问题(5)，通过对不稳定波动方程施加加权移动平均的扩展状态观测器,使得波动方程稳定。我们将自抗扰控制的思想与偏微分方程控制理论相结合，得到了新的结果。在课题组成员的共同努力下，研究达到了预定目标。项目组在重要数学期刊上发表论文14篇，其中SCI二区论文10篇，SCI四区论文3篇，国家核心期刊论文1篇。项目组的研究工作在审稿过程中得到了审稿人的一致认可。项目的研究丰富了偏微分方程及分布参数系统的控制理论，为分布参数系统的研究提供了新的方法。同时，本项目的研究也激发了山西大学数学科学院一批青年教师和博士生对分布参数系统理论和偏微分方程控制理论的兴趣。