矩阵流形的信息几何结构及其应用

As a new branch, information geometry mainly investigates statistics and information theory by using modern differential geometry methods. Although the theory system of information geometry is not perfect, it has been successfully applied in pattern recognition and signal processing and so on. Thus information geometry has attracted widespread attention and gradually become the focus of academic researches. To address these problems, this project aims at developing the complete information geometry theory of matrix manifolds and applying these theories to system control and the numerical calculation of nonlinear matrix equations. The specific research details as following: (1) Introduce a left invariant metric or a bi-invariant metric as the Riemannian metric and establish the information geometry theory of matrix manifolds; (2) Propose a Riemannian gradient descent algorithm and investigate the control problems on matrix manifolds; (3) Solve some important nonlinear matrix equations by using the information geometry structures of matrix manifolds. This research could provide a new method for solving nonlinear matrix equations based on Riemannian manifolds, which enriches and expands the theoretical methods and the application of the information geometry.

信息几何作为一个新兴理论分支，主要用现代微分几何方法来研究统计学和信息论，虽然其理论体系尚未完备，但其在模式识别、信号处理等领域已获得一些成功应用，因而受到广泛关注，正逐步成为学术研究热点。本项目旨在矩阵流形上建立完备的信息几何理论，并将其应用到系统控制和非线性矩阵方程求解领域。具体研究内容包括：(1) 引入左不变度量或者双不变度量作为所研究的矩阵流形上的黎曼度量，从而建立矩阵流形上的信息几何结构；(2) 提出矩阵流形上的黎曼梯度下降算法，研究矩阵流形上的控制问题；(3) 基于矩阵流形的信息几何结构，求解若干重要的非线性矩阵方程。本研究为非线性矩阵方程求解建立基于黎曼流形的新方法，丰富和拓展了信息几何的理论方法和应用领域。

信息几何在众多领域都有广泛应用，除神经网络的经典的应用之外，信息几何在其他领域的理论基础和实际应用还未形成一个完整体系。所以，扩充信息几何的理论框架，并将其应用到新的领域中具有重要意义。迄今为止，信息几何所使用的理论仅仅局限在使用黎曼几何的基本理论，只是涉及黎曼度量和仿射联络以及测地线等范畴，并没有涉及更加高深的理论。本项目建立矩阵流形上的信息几何的理论框架，通过引入左不变向量场或双不变度量，使得所研究的对象成为黎曼流形，同时利用李代数到李群的指数映射以及其逆映射，引入可测量矩阵流形上两点间距离的定义，从而建立更加广泛的信息几何理论框架。在本项目的资助下取得的研究成果有①基于正定矩阵流形的信息几何结构，给出一般线性矩阵方程的广义哈密顿算法；②引入左不变度量或者双不变度量作为所研究的矩阵流形上的黎曼度量，从而建立正定Hermite矩阵流形上的alpha-几何结构；③基于正定矩阵流形的信息几何结构，提出Stein方程数值解的黎曼梯度算法；④发表学术论文3篇，其中2篇被SCI检索，1篇被EI检索。