哈密顿系统与辛几何中的闭轨道

Periodic solutions, brake orbits, homoclinic orbits are important research objects in Hamiltonian systems. The Maslov_type index theory of.symplectic paths has played great poles in the studies of multilplicities and stabilities of periodic solutions in Hamiltonian systems and closed geodesics on.Riemannian manifolds. In our previous works we have established the Maslov_type index and its iteration theory for brake orbits and made important progress in the study of Seifert conjecture and related problems. Since there is natural relation between Hamiltonian systems and symplectic geometry, in this program we will try to further.study Maslov index theory and its applications in the study of the above problems,.meanwhile we will study problems related to Weinstein conjecture and Arnold conjecture as follows: 1. Multiplicity and stability problems of closed characteristics on compact convex hypersurfaces in even dimensional Euclidian space..2. Multiplicity and stability problems of brake orbits on revserble compact convex hypersurfaces in even dimensional Euclidian space and problems related to Seifert conjecture. 3. Homoclinic orbits problems in Hamiltonian systems. 4. Problems related to Weinstein conjecture and Arnold conjecture in symplectic geometry.

周期解、闸轨道、同宿轨是Hamilton系统中的重要研究对象，辛道路Maslov型指标理论在Hamilton系统周期解和流形上闭测地线的多重性稳定性研究中发挥了重要作用。在之前的工作中我们建立了闸轨道的Maslov型指标及其迭代理论并在Seifert猜想和与之相关的闸轨道的多重存在性和稳定性的研究中取得较为重要进展。因为Hamilton系统和辛几何之间有着自然的联系，在本项目中我们将致力于Maslov型指标理论的进一步发展以及在上述问题研究中的应用，同时研究辛几何中一些相关的问题。具体如下：1.偶数维欧氏空间中紧凸超曲面上闭特征的多重性和稳定性问题；2.偶数维欧氏空间中可逆紧凸超曲面上闸轨道的多重性和稳定性问题以及与Seifert猜想相关的问题；3.Hamilton系统中的同宿轨问题；4.辛几何中和Weinstein猜想和Arnold猜想相关的问题。我们力争在上述问题研究中取得突破性进展。

在这四年中我们致力于2n维欧氏空间中紧凸可逆超曲面上的闸轨道和闭特征的多重性与稳定性、闸轨道的最小周期问题、环面上的闸轨道、奇异非线性椭圆方程等问题的研究。..（1）.我们建立了和完善了从恒等出发辛道路闸轨道边值Maslov型指标的迭代理论。据此我们证明凸偶情形Seifert猜想成立，这是关于目前该猜想最重要的进展之一。.（2）.我们证明了若R2n中可逆对称紧凸超曲面 上恰好存在n条闸轨道，那么其中至少两条的平均指标是无理数。对n=2情形证明，若R4中可逆对称紧凸超曲面 上恰好存在2条闸轨道，那么他们都是椭圆的，且其中一条是无理椭圆的。.（3）.我们研究了R2n中部分中心对称紧凸超曲面上部分中心对称闭特征的We 多重性和稳定性问题，在一些两面夹情形我们得到一些多重性和稳定性结果。.（4）.我们研究了2n维可逆环面上1-周期哈密顿系统闸轨道及次调和闸轨道解相关问题。我们证明：该环面上至少存在n+1条1周期的闸轨道；若所有1-周期 闸轨道都非退化，那么该环面上至少有2^n条1-周期闸轨道；进一步若设该环面上只有有限条1周期闸轨道且至多只有一条双曲闸轨道，那么该环 面上存在无穷多条次调和闸轨道解。. (5)我们研究了闸轨道的最小周期猜想，最终我们能够证明严格凸情形该猜想成立。. （6）.研究了一类奇异非线性椭圆型方程 Lazer–McKenna1991年首次提出了关于上述方程的Lazer–McKenna 障碍:这类方程有解当且仅当指数 p<3。此后许多数学家研究了方程有唯一解的各种条件。我们给出了p>1时解集合的局部描述，并展示了p=3在其中的角色，推广了Lazer–McKenna1991的经典结果。