代数和数论在序列和编码中运用

This program mainly investigates correlation values of sequences, cyclic codes, linear codes, quantum codes and linear codes with complement dual (LCD codes). The details are given as follows: 1）by deep number theory and exponential sum and so on, investigating Helleseth’s conjecture about cross correlation values of m sequences and their decimations，improving Weil bound of exponential sum, determining the precise values of Feng-Luo exponential sum, giving distributions of cross correlation values of sequences and their decimations, calculating distributions of Walsh transformation of sequences, constructing optimal or almost optimal codebooks; 2) by exponential sum, characteristic matrix and p-adic theory, computing values of some special exponential sums, determining weight distributions of cyclic codes with two zeros, constructing optimal or almost optimal cyclic codes and linear codes, computing primitive idempotent elements associated with irreducible cyclic codes over Galois ring or p-adic field, and their minimum distances; 3) by generalized Reed-Solomon code and matrix theory, obtaining new MDS quantum codes and MDS LCD codes.

本项目主要研究序列的相关值，循环码,线性码，量子码,和补对偶码（LCD码）。具体研究内容如下：1）利用深刻数论和指数和等工具，研究m序列和其采样的相关值的Helleseth猜想，改进指数和Weil界，确定冯-罗指数和的精确值，给出m序列和其采样的相关值分布，计算单项式和多项式的Walsh谱，构造最优和几乎最优的码本；2）利用指数和，特征标， p-adic理论，计算一些特殊指数和的值，确定两个零点循环码的重量分布，构造最优或者几乎最优循环码和线性码，计算Galois环和p-adic域上的不可约循环码相应的本原幂等元和它的最小距离；3）利用广义Reed-Solomon码和矩阵方法，给出新的MDS量子码和MDS补对偶码。

本课题组主要利用代数和数论，研究编码和密码相关问题。具体成果如下：（1）在q模rad(n)的阶为素数的条件下, 得到了x^n-1在有限域F_q上所有不可约因式及其计数公式，利用上多项式分解的结果，研究了xn-λ，λ∈F_q^*，的自互反共轭因式，计算了自对偶码和LCD循环码的个数；（2）运用代数数论知识，计算了广义Moisio型指数和，作为运用，得到了单项式函数f(x)=Tr(ax^((q-1)/N)) 的Walsh 谱，找到了三类具有三值Walsh 谱的单项式函数，构造了一类只有两个互相关值的二元序列和一类互相关函数至多三值的三元序列，计算了一些新参数线性码的重量分布；（3）考虑群代数上线性码的LCD码、自正交码以及自对偶码的生成元和计数公式，给出了p-群代数的所有LCD码和自对偶码个算，讨论二面体代数上线性码的LCD码、自正交码以及自对偶码个数；（4）考虑一类Goppa码型的广义Reed-Solomon（GRS）码，给出了Goppa型的GRS码的对偶码也是Goppa型的GRS码的一个充要条件，证明了Goppa型的GRS码的Hull是Goppa型的GRS码，同时得到了LCD GRS码和自对偶GRS码。