数论和组合方法在某些编码和密码学问题中的应用

现代通信技术的发展需要越来越多的数学理论。有限域上的指数和是数论和算术几何中一个基本而重要的研究对象和工具，关于这些指数和的估计已有很好的结果。在实践中，有限域上的指数和在编码理论，密码学等领域都有重要的应用。例如序列分析中需要自相关和互相关性能较优的周期序列，这相当于寻找绝对值较小的指数和；在代数编码理论中，指数和被用于估计线性码的最小距离，进一步，可以利用指数和计算循环码的权分布。本项目试图研究那些可以有明显表达式的指数和；从而利用其明显表达式计算其值分布，决定周期序列的相关性能、对应的线性码的权分布以及覆盖半径,从而决定对应的秘密共享方案的存取结构。另外，我们试图利用指数和的明显表达式构造好的认证码和常组合码。量子码是随着量子通信技术的发展而兴起的一种新的编码方式。子系统码是一种特殊形式的量子码，应用经典的纠错码可以构造多种子系统码。本项目试图利用代数几何码构造性能优异的子系统码。

经过3年的研究，我们在以下方面取得的较好的研究成果：.1. 序列及循环码的研究：我们推广了大参数的Kasami序列并给出相应的序列类的自相关和互相关分布，同时我们给出了相应的循环码的权分布。我们构造的序列具有优异的性能，与已知的Kasami序列相比，我们的构造参数选取更自由。另外，我们构造了两类性能优异的Niho型序列并给出互相关分布。.2. 指数和的应用研究：我们利用有限域上指数和的结果，构造了几类性能优异的常组合码，与以前的构造相比，我们的构造具有更好的渐近性能。另外，利用指数和的清晰表达式，我们给出了一类曲线在有限域上的有理点个数并给出了zeta函数。.3. 量子码的研究：我们利用CSS方案，创造性的将不同列数的范德蒙矩阵粘合起来，构造了多类量子MDS码，我们的构造的不同参数的量子MDS码的个数大约是以前所有已知的不同参数的量子MDS码的总个数的三倍，极大的丰富了量子MDS的研究。另外，我们将二元的Steane放大技术推广到了多元情形，改进了量子码参数的量子渐近TVZ界。.4. 其他的编码问题的研究：我们构造了可纠正非对称和对称错误有限界错误的闪存纠错码，将此编码问题转化为初等数论问题。我们利用计算机搜索和数学猜想、证明相结合的方法，给出了这些闪存纠错码的多个最优构造。另外，我们给出了具有全支撑集的线性码的不可检测误码率的上界,改进了以前的线性码的不可检测误码率的上界。.以上结果大部分发表在IEEE信息论汇刊上(IEEE Transactions on Information Theory) .