Clifford分析中Dirac型算子及其相关问题研究

Occupying an important position in modern mathematics, Dirac operator is the main research object and a power tool of function theory. Clifford analysis and the analysis in superspace are hot fields of modern function theory. This project is to mainly discuss Dirac-type operators in Clifford algebra space and superspace as well as their relevant problems. Several problems as follows will be discussed: . 1. To study the properties and decomposition of Dirac-type operators in Clifford algebra space and superspace as well as these operators relationship with Laplace-type operators;. 2. To discuss the properties of singular integral operators in Clifford algebra space and superspace related to Dirac-type operators as well as disclose the essential properties and mutual relationship of relevant functions;. 3. To explore Schwarz-type lemma in complex Clifford analysis and geometrical properties of some special functions.. The project will further enrich Clifford analysis theory and it is significant in both theory and practice.

Dirac算子在当代数学中占有重要地位, 是函数论的主要研究对象和有力工具。Clifford分析和超空间上的分析是现代函数论的热门领域。 本项目主要研究Clifford代数空间与超空间上的Dirac型算子及其相关问题。本项目拟研究以下几个问题：. 1、研究Clifford代数空间以及超空间上Dirac型算子的性质、分解及其与Laplace型算子的关系；. 2、讨论Clifford代数空间和超空间上与Dirac型算子相关的奇异积分算子的性质, 揭示相关函数的本质特性和相互关系；. 3、研究复Clifford分析中的Schwarz型引理与一些特殊函数的几何性质。 . 本项目将进一步丰富Clifford分析理论, 具有一定的理论意义和实际价值。

项目背景：.Clifford代数是不可交换的代数系统，是研究高维流形上旋量群的基本工具。Clifford代数在微分几何、理论物理等方面有很重要的应用，是现代数学和物理的核心工具之一。在Clifford代数框架中引入了Dirac算子，给出了全纯函数的概念，然后将经典的全纯函数理论推广到了高维的Clifford代数空间，形成了所谓的超复函数理论-Clifford分析。本项目拟研究定义在高维流形上取值于Clifford代数空间的全纯函数的性质。Dirac型算子的性质，算子的分解及其与Laplace型算子的关系，研究与其相关奇异积分算子的性质，讨论复Clifford分析中的一些特殊函数的几何性质。.主要研究内容：.1.研究了复Clifford分析中一类新型的含有不可交换的Clifford代数单位元带有B-M核的柯西积分公式，并在此基础上进一步研究了复正则函数空间的函数性质，得到了函数空间的一系列结果。.2.研究Slice Clifford分析中正则函数理论，得到了Slice全纯函数空间的一系列结果。.3.在多复中研究了一类广义的全纯函数的性质，得出了一些基本的性质。研究了一类α次殆β型螺形映照的解析特征，讨论了其几何不变量。.4.研究了Clifford分析中与双超正则函数有关的T型算子的性质。讨论了Clifford分析中两类积分算子的性质，并将其应用于求解边值问题，证明了相关线性边值问题解的存在性与唯一性，并且给出了解的积分表示式。.关键数据：.1.给出了复流形上全纯的Clifford值函数的定义，找到了与其对应的B-M核以及积分算子，找到了复分析理论与Clifford分析的结合点。.2.在Clifford分析中给出了新的广义微分算子和积分算子，得到了加权K正则函数的积分表示。.3.讨论了多复分析中的广义全纯函数性质，丰富了多复分析的理论。.科学意义：.本项目将Clifford分析中的全纯函数理论与多复分析中的相关理论相结合，找到了Clifford分析中一类新型的含有不可交换的Clifford代数单位元带有B-M核的柯西积分公式，使复Clifford分析的函数表示理论有了本质的发展。研究了一些特殊函数的几何函数性质，丰富了多复变数的几何函数理论。