Clifford分析中的若干问题研究

Clifford analysis and function theory of several complex variables all originated from function theory of one complex variable, and they are similar in many aspects. However,for the noncommutativity of Clifford algebra there are certain difference between them. This project will study the following two contents. 1. Making use of the methods and techniques in geometric function theory of several complex variables and combining knowledge on differential geometry, functional analysis, differential equation and algebra and using quasi-pertutations to overcome some difficulties brought by the noncommutativity of Clifford algebra, we extend geometric function theory to real Clifford analysis and we will study growth theorems, covering theorems and distortion theorems of some special functions in real Clifford analysis. 2. The complex hypermonogenic function is one of the most important functions in complex Clifford analysis, but its Cauchy integral formula has not been able to be obtained. By virtue of the methods and techniques in function theory of several complex variables and algebraic matrix approach we will study Cauchy integral formual of complex hypermonogenic functions and the related problems. Study on the project will further enrich Clifford analysis theory and make it perfect and the project is significant in both theory and practice.

Clifford分析与多复变函数论都是源于单复变函数论，两者有很多类似之处.然而由于Clifford代数的不可交换性，两者又有一定的区别.该项目将研究两方面的内容： 1.利用多复变数几何函数论中已有的方法和技巧，结合微分几何、泛函分析、微分方程和代数等方面的相关知识,以拟置换为工具来克服Clifford代数的不可交换性带来的困难, 将几何函数论推广到实Clifford分析中，研究实Clifford分析中一些特殊函数的增长定理、掩盖定理和偏差定理. 2.复超正则函数是复Clifford分析中最重要的函数之一,但其Cauchy积分公式一直未能解决.借助于多复变函数论的方法和技巧,再结合代数矩阵的方法,我们将研究复Clifford分析中复超正则函数的Cauchy积分公式及其相关问题. 本项目的研究将进一步丰富和完善Clifford 分析理论,在理论上和实际中都有一定意义.

该项目按原计划执行，在国内外重要杂志上共发表与该课题相关的论文19篇，其中 SCI检索14篇。主要研究内容如下：.（1）研究得到了Slice正则映射的增长定理、掩盖定理和偏差定理（正在整理打印中），证明了一类凸映射子族的增长定理、掩盖定理与偏差定理。.（2）研究得到了Clifford分析中对偶的k-hypergenic函数的Cauchy积分公式及其相关性质；研究了Clifford分析中Möbius变换的重要性质，证明了hypergenic函数与Clifford Möbius 变换的复合是一个加权的hypergenic函数；研究得到了无界域上超正则函数的Cauchy型积分公式与Plemelj公式;研究得到了加权k正则函数的Cauchy积分公式及其相关算子的性质（正在整理打印中）。.（3）研究并解决了一类高阶奇异积分算的不动点和迭代问题，得到了α-Dirac算子相关的Teodorescu算子的一些性质等。.（4）研究并解决了四元数分析中加权Dirac算子的Riemann边值问题、非齐次偏微分方程组的边值问题、Clifford分析中双超正则函数的边值问题与非齐次Cimmino方程组的混合边值问题等。.（5）研究了Lp空间上一类积分算子的有界性和模的改进与Berezin型变换的范数估计等问题。.由于复超正则函数本身条件复杂再加上复积分微元的复杂性，其Cauchy积分公式还在探究中，有望近期得到结果。但我们给出了对偶的k-hypergenic函数的Cauchy积分公式、无界域上超正则函数的Cauchy型积分公式和Clifford分析中加权k正则函数的Cauchy积分公式。.本项目的研究进一步丰富和完善了Clifford 分析理论,在理论上和实际中都有一定意义。