Clifford分析中的边值问题与相关反问题研究

In this project, we plan to study the theories of Clifford analysis and their applications in boundary value problems and inverse problems of partial differential equations, including exhaustively investigate the properties of some singular integral operators in Clifford analysis, explore the properties of solutions for elliptic equations. And we will put forward some new methods to construct suitable integral operators, further research the higher dimensional hyperbolic and degenerate partial differential equations and systems, such as the existence and uniqueness, the integral representations, the growth properties and the prior estimates of solutions of some boundary value problems for inhomogeneous Cimmino systems, Beltrami equations, pluri-Beltrami equations, etc. Moreover, we will study the inverse boundary value problems and the inversion problems of unknown coefficients of partial differential equations by using the related function theories in Clifford analysis and the inverse scattering methods, and prove the existence and global uniqueness of the solutions, etc. For a long time, the applications of Clifford analysis in partial differential equations mainly restricted to the related boundary value problems for elliptic equations. We shall further generalize the investigation to the higher dimensional hyperbolic and degenerate partial differential equations. At the same time, we also will study the related inverse problems, which open up a new research field in Clifford analysis. Thus, the project actively promotes the development of related disciplines and has important scientific significance.

本项目拟研究Clifford分析理论及其在偏微分方程边值问题和反问题上的应用，主要包括继续深入研究Clifford分析中一些奇异积分算子的性质，探讨椭圆型方程解的性质，并提出新的方法，构造合适的积分算子，进一步研究高维双曲型和退化的偏微分方程或方程组，如非齐次Cimmino方程组、Beltrami方程、多重Beltrami方程的一些边值问题解的存在唯一性、解的积分表示、解的增长性与解的先验估计等。另外，利用Clifford分析中有关函数理论以及逆散射方法研究偏微分方程的逆边值问题与未知系数的反演问题，证明其解的存在性与整体唯一性等。长期以来，Clifford分析在偏微分方程中的应用主要局限于椭圆型方程的有关边值问题，本项目拟将其延伸到高维双曲型方程和退化的偏微分方程的研究，同时研究有关的反问题，从而开拓了Clifford分析研究的新领域，推动了相关学科的发展，具有重要的科学意义。

项目背景：研究Clifford分析理论及其在偏微分方程边值问题和反问题上的应用是经典实复分析理论在高维空间的推广。. 主要研究内容：（1）在Clifford代数框架下，研究了与k正则函数、hypergenic 函数、ψ-全纯函数等函数有关的奇异积分算子的一些性质；（2）利用所研究的奇异积分算子给出有关偏微分方程边值问题解的积分表示，并研究其解的增长性、解的先验估计等；（3）对利用Clifford分析中有关函数理论研究偏微分方程的逆边值问题与未知系数的反演问题进行探究。. 重要结果：（1）得到了高维空间一些函数类相应的Cauchy型积分算子、Teodorescu型积分算子以及高阶奇异积分算子的一些性质，例如：有界性、Hölder连续性、Lp可积性、稳定性以及不动点的存在性与迭代逼近等；（2）利用所研究的奇异积分算子给出了一些边值问题的积分表示，例如：Cimmino方程组的一类混合边值问题、加权Dirac算子的Riemann边值问题、退化的椭圆方程组的Riemann边值问题和斜微商边值问题以及与Helmholtz方程有关的边值问题等；(3)证明了调和函数与次调和函数的一些性质，例如：Matseav 定理、Phragmén-Lindelöf 定理等；（4）研究了hypergenic函数与k-hypergenic函数的一些性质，以及左Bernstein-Durrmeyer拟中插强逆不等式与应用等。. 关键数据：（1）通过构造新的奇异积分算子，给出了加权Dirac算子的Riemann边值问题解的积分表示；（2）通过寻找复分析与Clifford分析的结合点，研究解决了一类退化的椭圆型方程组的Riemann边值问题，证明了一类退化的椭圆型方程组斜微商边值问题解的存在唯一性条件。. 科学意义：本项目的研究将丰富函数论与边值问题的理论、开拓复分析和Clifford分析研究的新领域，并可用于解决与实际问题相关的方程的边值问题与反问题，在理论上和实际中都有一定的意义。