离散与组合几何中的凸性问题研究

Convexity theory plays an increasingly important role in promoting the crossover study between discrete and combinatorial geometry and other research fields. In this project we focus on five types of problem about convexity: .(1) Discuss the ℱ-convexity and the related algorithms in d-dimensional Euclidean space for discrete point sets and compact continua, and try to find some theoretic relationships between discrete point sets and continua under ℱ-convexity. .(2) Explore the ℱ-convexity in Archimedean tiling graphs, estimate the complexity of the relevant algorithms, and try to generalize the research results to other k-uniform tiling graphs. .(3) Apply Baire categories to the research of ℱ-convexity, and discuss generic problems under different theoretic frameworks of ℱ-convexity. .(4) Investigate the selfishness and generosity of convex bodies, discrete point sets, continua and arbitrary compact sets..(5) Prove or disprove the conjecture that any convex polytope has the Rupert property, and discuss the conjecture for other convex bodies..To solve the above problems we need to use comprehensively geometry, algebra, combinatorics, graph theory, mathematical analysis, topology, probability methods, and other mathematical tools. We need also the construction of algorithms and the use of computer simulations. The goal of this project is to strive for good results in both theoretical research and research in applied algorithm, so as to enrich and improve further the theoretical system of ℱ-convexity.

凸性理论在促进离散与组合几何学同其他领域的交叉研究中发挥着越来越重要的作用。本项目拟重点探讨五类凸性问题：一是从离散点集、紧连通集两个层面探讨d维欧式空间中的ℱ-凸性问题及所涉及的算法问题，力争建立离散点集与连通集在ℱ-凸性下的理论联系；二是探讨阿基米德铺砌图中的ℱ-凸性问题，并对相关算法的复杂度进行估计，且力争将研究结果拓展至k-一致铺砌图；三是将贝尔范畴思想应用于ℱ-凸性研究中，探讨不同的ℱ-凸性理论框架下的泛型问题；四是探讨凸体、离散点集、连通集及一般紧集的自私性和慷慨性；五是证明或否定关于凸多胞形都具有Rupert性质的猜想，并就其他凸体研究该猜想。.解决上述问题需要综合运用几何、代数、组合论、图论、分析、拓扑、概率方法等多种数学工具，还需要构造算法并运用计算机进行模拟运算。项目研究的目标是力争在理论研究与应用算法研究两方面均取得好的结果，进一步丰富并完善ℱ-凸性的理论体系。

本项目主要围绕ℱ-凸性问题、自私性与慷慨性问题、凸体的Rupert性质等问题开展研究工作，获得的主要研究成果包括：.（1）在R^d中重点研究了矩形顶点集所成集族导出的rq-凸性、边界导出的tr-凸性和双矩形凸性；研究了由直角三角形的一个顶点及其对边导出的poidge-凸性以及poidge-完备数，以及由直角三角形的边界所成集族导出的trt-凸性；尝试探讨了半圆所成集族导出的C-凸性。上述研究既包含了亏格不为0的连通集族导出的ℱ-凸性，也包含了既不离散也不连通的集族导出的ℱ-凸性；既包含了离散点集所成集族导出的ℱ-凸性，更有极点个数无限的集族导出的ℱ-凸性，所获成果对深刻揭示ℱ中集合的性质对ℱ-凸性的本质影响奠定了基础。.（2）将poidge-凸性的概念推广至铺砌图，重点研究了正方形铺砌图和正三角形铺砌图中的poidge-凸性；研究了正方形铺砌图、正三角形铺砌图以及3维空间中立方体铺砌图的rq-凸性及rq-星形集；研究了阿基米德铺砌图的一些其他相关性质。.（3）研究了任意凸体、凸多胞形、常宽凸体和“大多数”（贝尔范畴意义下的大多数）凸体的椭圆环绕和被椭圆环绕问题；拓展了Stechkin的一个定理；在ℱ-凸性的研究中获得了一些贝尔范畴意义下的泛型结果；研究了可定向曲面上的临界点问题。.（4）研究了紧集的慷慨性，并提出了感恩性的概念，对集合的慷慨性、感恩性进行了刻画。.（5）研究了凸体的Rupert性质，证明了大斜方截半二十面体和正棱锥具有Rupert性质，给出多面体具有Rupert性质的一个条件；研究了凸体的其他相关性质。.本项目已发表期刊论文16篇，其中SCI检索论文14篇；接受发表SCI期刊论文1篇。项目组成员赴国外学术交流4人次，线上参加国外学术交流2人次，在国内外会议做大会或邀请报告10人次，举办国际学术会议2次，组织承办全国性学术会议2次，开设暑期短课程1门。.项目组共培养博士研究生3名，全部获得国家留学基金委资助；培养硕士研究生19名。项目执行期内1名博士研究生毕业并获得理学博士学位，11名硕士研究生毕业并获得理学硕士学位。