离散几何中与凸性相关的若干问题研究

离散几何与凸几何的研究不仅与许多其他数学分支如组合、数论、图论和优化理论等有着密切的关系，同时也在计算几何与几何算法、编码理论与数据传输、晶体结构理论等实用学科中具有重要应用。近年来，随着Busemann-Petty问题、Kepler猜想等一些本学科中重要问题的解决，离散几何与凸几何的研究引起了人们极大的兴趣。. 本项目将利用离散点集的压缩技术、离散点X射线技术、Ehrhart多项式理论 以及一些组合数学的方法对离散几何中与凸性相关的几类问题进行深入研究，拟解决的主要问题有：1、凸格点集的投影与截面问题，建立离散的Aleksandrov型投影定理；2、关于凸格点集的Hadwiger几何猜想与一般的Hadwiger几何猜想；3、若干关于凸体的度量关系的离散化形式，主要探讨关于凸格点集的类似度量性质。

在国家自然科学基金（编号：11001014）资助下，项目组完成研究论文共计7篇，其中SCI1篇，EI2篇，国内核心期刊3篇，国外期刊1篇.. .受项目资助，我共参加相关学术会议七次，其中在2010中日计算几何、图论及其应用国际会议上作分会报告：A Property about the Convex Lattice Set in Z2.另外，项目执行期间，项目组还邀请了河北师范大学苑立平教授和北京大学蔺友江博士做了相关主题报告...已完成论文主要研究了如下五方面的问题：.(1)关于格点集的度量性质研究. 在考察凸格点集的度量性质时，人们必然会想到联系格点集所围面积与其关联点数关系的Pick定理. 由于在三维空间不存在Pick定理的相应推广，我们考虑了嵌入在三维空间的任意二维平面，讨论了其上格点网的性质并得到了相应的Pick定理，这一结果已经完成并投稿..(2)关于凸格点集截面性质的研究. 凸体的截面性质已经被很好地做了研究，但凸体的离散对应物-凸格点集的截面性质却相对复杂，我们仔细研究了二维中的凸格点集，得到了二维中关于凸格点集截面的一些性质，这一结果发表在Springer-Verlag出版的Lecture Notes in Computer Science 7033, 被EI收录..(3)关于凸格点集的矩阵方法的研究. 在利用代数方法研究凸格点集的投影性质的过程中，我们对任意非负矩阵的子矩阵建立了一个混合算术几何平均值不等式, 这推广了经典的算术-几何平均值不等式. 这一结果发表在Mathematica Slovaca,被SCI收录..(4)关于凸体的研究. 作为凸格点集在连续情况下的对应物—凸体，它的几何性质也是我们研究中及于关注的一类研究对象，在凸体的几何性质方面项目组共发表论文两篇. 其中一篇由项目组俞武扬完成，发表在“数学物理学报”，另一篇发表在Far East Journal of Mathematical Sciences..(5)若干应用研究. 我们利用在研究凸格点集的投影及截面性质时用到的代数方法研究了若干应用问题，发表论文三篇，其中EI收录一篇. . 项目执行期间，我们定义了凸格点集的一类距离矩阵，对这一类矩阵的性质的研究还在进行中，我们将继续在此基础上研究凸格点集的投影及截面性质.