多面体的锐角三角剖分及其算法研究

三角剖分理论是离散与组合几何学的重要组成部分，其在计算机图形学、算法设计、模式识别、物理模拟、地理信息系统、Auto CAD开发和三维建筑造型设计等很多领域都有着十分广泛的应用。.本项目拟研究解决三维空间多面体锐角三角剖分中的四个问题：阿基米德多面体表面的测地线锐角（非钝角）三角剖分的构形、剖分数的下界及最优化算法；一般多面体表面的测地线锐角三角剖分数的上界、算法及面独立锐角三角剖分的存在性；阿基米德多面体剖分为锐角四面体的存在性及可能构形；一般多面体剖分为锐角四面体的存在性。这些问题都是当前国际离散与组合几何研究领域中的前沿、热点和难点问题。研究工作将从讨论特殊多面体到一般多面体，从研究多面体表面到多面体整体，构建两个维度交叉的、立体的研究方案，研究结果不仅对推进三维空间锐角三角剖分理论的发展具有重要意义，而且对计算机科学的基础理论和技术发展也将产生积极的影响。

三角剖分理论是离散与组合几何学的重要组成部分，其在计算机图形学、算法设计、模式识别和三维建筑造型设计等很多领域都有着十分广泛的应用。本项目围绕三角剖分问题开展研究，取得了重要进展，获得了系列成果，代表性的成果包括：（1）确定了全部13类阿基米德多面体表面的锐角（非钝角）三角剖分数，其中8类得到了最优结果。在此之前，国际同行仅对五类正多面体表面的锐角（非钝角）三角剖分数给出了确定结果；（2）研究了多面体表面的平衡锐角三角剖分数，并解决了关于正十二面体表面锐角三角剖分数的一个未解决问题；（3）确定了满足一定曲率条件的双紧凸集表面的锐角三角剖分数，并在国际上率先对旋转体表面的锐角三角剖分问题展开了研究，首次给出了圆锥、圆柱等旋转体表面的锐角（非钝角）剖分数以及由正多边形绕其对称轴旋转所得旋转体表面的锐角三角剖分数。在此之前，国际上关于非多面体的凸体表面的锐角三角剖分研究中仅对于球面获得了具体的结果。 . 同时，本项目组在研究中主要增加了下述新的研究内容：(1) 关于F-凸性的研究。F-凸性理论是离散与组合几何中的一个新的研究领域，目前在国际上的研究处于起步阶段。项目组和罗马尼亚科学院院士Tudor Zamfirescu院士合作研究了直角三角形顶点集形成的集族导出的rt-凸性（Right Triple Convexity）问题和等腰三角形顶点集形成的集族导出的it-凸性 (Isoseles Triple Convexity)问题，获得了一系列成果，为国际同行开展凸性理论的相关研究提供了方法上的借鉴。(2) 阿基米德铺砌顶点性质的相关研究。首次运用数的几何的理论和方法对阿基米德双铺砌和三铺砌以及一类非阿基米德铺砌的顶点性质进行了刻画，确定了关于铺砌顶点的Minkowski-型定理、Blichfeldt-型定理，并首次将Pick型定理成功推广至一类阿基米德双铺砌。. 项目执行期内本项目组在Discrete & Computational Geometry, Discrete Mathematics、Discrete Applied Mathematics等知名期刊发表论文21篇，其中SCI收录12篇，EI收录3篇，此外还有9项研究成果已经投稿。项目执行期内本项目组共培养博士研究生２名，硕士研究生28名，其中11名硕士研究生已经毕业并获得理学硕士学位。