复微分方程和复解析动力系统的研究及其应用

Value distribution theory, complex dynamics and their intersection are the important topics in the modern mathematics, which have also attracted the attention of many famous mathematicians in complex analysis. Our project aims to discuss analytic properties and dynamics behavior of meromorphic solutions of complex differential equations and complex difference equations, and also study the analytic, geometric and topological property of the Julia sets of rational functions. We would apply the theories in complex dynamics, quasi-conformal mapping, asymptotic analysis and value distribution. By using the development and the method in complex dynamics, we try to investigate some problems in Painlevé equations, difference equations, value distribution and statistical physics.

复微分方程和复动力系统及其应用的研究是当代数学研究的热点之一，吸引了很多著名的国内外复分析学者的关注。本项目将利用复动力系统理论、拟共形映射理论、渐近分析理论、Nevalinna理论、Wiman-Valiron理论、正规族理论、函数唯一性理论中的思想方法研究复域上微分方程亚纯解的解析性质，如代数微分方程解的增长级、Painleve方程及其高阶类似的亚纯解的值分布性质、四类Painlevé差分方程解的零点分布和增长性；另一方面研究Painleve方程、线性微分方程和线性差分方程解的动力学性质，探讨其亚纯解的无界Fatou分支、Julia集径向分布和Hausdorff维数及其不变测度。

项目组总体上按计划书中的计划开展研究工作。项目执行期间，项目组成员主要在下几个方面的研究并获得相应的一些成果：1）对复线性微分方程解的值分布性质，并整函数解的动力系统性质进行了深入研究，得到了一系列的重要成果。考虑复方程的解析性质及其在数学物理方程中的应用，比如用复化的方法研究了Jimbo-Miwa型方程的亚纯精确解与（3+1）维浅水波方程的多周期孤子解，获得了它们新的精确解析解；2）对有关有理系数的差分Riccati方程和常系数的时滞微分方程展开研究，讨论了Z趋于无穷时亚纯解的渐进行为，并得到其增长性；3）开展了超越亚纯（整）函数的q差分算子、差分多项式、差分方程的值分布性质的研究，也获得了比较满意的成果；4）研究了一类增长很快并具有无穷增长级的整函数的Julia集和逃逸集的交集，证明了其Hausdorff维数等于2；5） 考虑涉及重整化变换后带有两个参数的2n次有理映照族，我们详细刻画了这族有理函数的Fatou分支与拟圆的关系,获得了比较满意的成果。进一步，探讨了涉及重整化变换后带有三个参数的有理映照族的动力学性质，对其中的一些参数，比较完备地刻画了其Fatou分支与拟圆的关系，证明了这族有理函数Julia集在Misiurewicz点处关于实参数的连续性。