复域中微分方程-Painleve方程解的性质及其应用的研究

由于本身理论的发展及其在其它领域中的重要应用，Painlevé方程早被定为是最重要的非线性常微分方程，而且Painlevé超越函数如今被认为将归入经典的特殊函数之列。对复方程，特别是Painlevé方程解的性质及其应用的研究越来越引起关注和重视。本项目立项研究复方程（特别是Painlevé方程及其高阶类似）的解的存在性，解的性质，动力学特征及其应用，主要包括：研究复方程的值分布性质；利用Painlevé方程及其高阶类似的有理解和代数函数解的存在性、解的精确表达式和Backlund变换构造相应数学物理方程的解析解；研究Painlevé方程解的动力系统，包括有理解、代数解及Painlevé超越亚纯函数的动力学特征。通过这些研究从反过来刻画微分方程的特征。

由于本身理论的发展及其在其它数学分支中的重要应用，对复域上的微分方程，特别是潘勒韦方程解的性质及其应用的研究越来越引起关注和重视。本项目主要运用解析函数的值分布理论、正规族理论和复动力系统的基本理论研究复域上微分方程的值分布性质与动力学性质， 主要研究了代数微分方程及微分方程组的亚纯函数解的增长级, 高阶线性微分方程解的不动点的性质及潘勒韦方程有理解的动力学性质。利用复分析和Painleve分析的方法研究复化的数学物理方程、辅助常微分方程的亚纯解和三阶 fisher方程，得到数理方程新的精确解。我们按计划对本项目进行研究获得相应成果如下：.（1）研究复域上代数微分方程及微分方程组的亚纯解的值分布性质。运用值分布理论和正规族理论，对广泛一类代数微分方程及方程组的亚纯解给出增长级的上界，将Gol'dberg定理进一步推广，并举例说明了所给上界的精确性。所得结果发表在Electronic Journal of Differential Equation, Advances in Difference Equations, Acta Mathematics Scientia, 数学物理学报等杂志上。.（2）研究高阶线性微分方程解的值分布性质和不动点性质，得到高阶微分方程解的零点收敛指数与方程小函数系数之间的关系，并进一步得到解的不动点的分布。.（3）研究潘勒韦（Painleve）方程解的动力学性质，利用复动力系统的基本理论并借助于MATLAB计算工具研究第二类和第四类潘勒韦有理解的不动点，进一步迭代分析其动力学性质。.（4）研究辅助常微分方程的亚纯解，一些有应用背景的数学物理方程经适当变量替换后可复化， 借用复分析和Painleve分析的方法探讨其亚纯解的存在性与可能的表示形式，从而获得数理方程显式精确解, 确定新的精确解，所得结果发表在Mathematical Methods in the Applied Sciences, Advances in Mathematical Physics等杂志上。