涉及复动力系统和复微分方程的若干问题的研究

Complex dynamics plays an important role in modern mathematics. There are two branches in complex dynamics, one is transcendental entire functions dynamics, another is rational functions dynamics. There are many problems need to be solved in complex dynamics. Complex differential equations are closely related to Complex dynamics. The project does research some problems on complex dynamics and complex differential equations. In this research, we will mainly deal with the following problems: 1.The permutable problem of transcendental entire functional dynamics; 2.The dynamic properties of Ising model; 3.The dynamic properties of solutions of complex differential equations.. The permutable problem is an important problem of transcendental entire functional dynamics. Ising model is an important model of rational functional dynamics. There are many applications about this model. In this project, we study the complex differential equations by the theory and method of complex dynamics. It is a very important and new topic. It is significant to both the promotion of interdisciplinary and development. After research, the project will make a series of important results and partly answer above problems.

复动力系统是现代数学中非常值得研究的领域，主要有超越整函数动力系统和有理函数动力系统两个分支，在复动力系统中有许多问题有待解决。复微分方程与复解析动力系统密切联系相互促进。本项目拟对复解析动力系统和复微分方程的若干问题进行研究，主要研究如下问题：1.超越整函数动力系统的可交换问题；2.Ising模型的动力学性质；3.复微分方程解的动力学性质。.可交换问题是超越整函数动力系统中的重要问题，Ising模型是有理函数动力系统中的重要统计模型，它应用广泛。利用复动力系统的理论和方法研究复微分方程解的动力学性质是一个新的研究方向，该研究对复动力系统和微分方程的交叉发展有重要意义。通过深入研究，我们预期本项目可以取得一些实质性成果，解决部分问题。

复解析动力系统是现代数学中重要研究内容之一，在复解析动力系统的研究中仍有许多重要问题有待解决。复微分方程也一直是许多专家和学者热衷研究的方向。本项目分别对复解析动力系统和复微分方程中几个问题进行了研究并取得相应一些结果：1）对复微分方程解的性质的研究，我们讨论了复线性微分方程、Fermat型方程和Painleve方程等几类复微分方程，得到其解存在的充分条件和解的表达式。2）利用Nevanlinna值分布理论和函数的增长性，我们研究复微分方程亚纯函数解、整函数解和单位圆内解析函数的各种级、型、零点收敛指数以及整函数和单位圆内解析函数的精确级和精确型，得到了函数及其运算所得到函数的级、型、零点等有关性质。3）我们研究了统计物理的Ising模型的重整化变换函数的动力学，研究二维等边三角形晶格Ising模型重整化变换的Julia集的拓扑性质和解析性质。项目组研究了二维等边三角形晶格Ising模型的重整化变换的奇异性，深刻刻画了其重整化变换函数的临界点和奇异值及其分布。我们证明了等边三角形晶格Ising模型的重整化变换的Julia集由不可数分支构成、等边三角形晶格Ising模型的重整化变换的Julia集的Hausdorff维数大于1等系列结论。4）我们研究了超越整函数动力系统中的重要问题即可交换问题，给出了两个可交换的超越整函数Julia集的Lebesgue测度相等的结论。我们还研究了Julia集Lebesgue测度为零的可交换超越整函数族，得到该函数族的一些结果。此外，我们研究了实数轴上的同胚映射的拟对称指数、代数指数和Hold指数，得到这三种指数之间的关系。上述指数刻画了同胚映射的局部特征，同时在拟对称映射和拟共形映射的研究中具有重要作用。项目组的上述研究及取得成果不仅对相关问题的研究具有重要的学术研究价值，而且对复解析动力系统的发展和完善具有理论价值；不但对复解析动力系统理论研究具有理论意义，而且对微分方程和统计物理也有重要应用价值。