非有限阶化李代数的结构及其表示方面的若干问题

在申请人的博士学位论文中，研究了非阶化广义Weyl型李双代数的结构.在这个结论的基础上构造了一类新的量子群. 我们将在这个基础上继续深入探讨研究非阶化无限维李代数包括双代数及其量子化等的结构理论方面的问题. Cartan型李代数历史悠长但它的表示理论却远远不够完善，在申请人的博士学位论文中对某些特殊的Block型、Cartan型李代数的表示进行了研究. 我们将继续研究某些Block型、Cartan型李代数特别是S型和H型李代数的表示方面的问题，特别是quasifinite表示和Whittaker表示，期望能在广义Block型、Cartan型李代数的模的分类方面取得好的结果.

本项目的研究基本上是按照计划书的要求而顺利开展的。通过三年的研究，我们已经取得了一定的进展，得到了一些十分有意义的结果。在李共形代数方面，我们研究了一类滤过李共形代数，与它们相关的阶化共形代数同构于一般共形代数gc_1。利用共形代数的二次上同调群的相关结果，给出了一类滤过李共形代数的分类，并且证明了一类李共形代数不存在非平凡表示，这是很有意义的结果，因为这给出了一个有限自由生成的单李共形代数不能嵌入到一般共形代数的例子。这一结果已经在最好的代数专业杂志《Journal of Algebra》上发表。李代数W(a,b) 实际上是著名的Virasoro李代数和Virasoro李代数的一个中间序列模的半直积。我们构造了W(a,b)共形代数, 并在此基础上研究了李共形代数W(a,b)的秩为1的共形模。我们还研究了一类Block型李代数，首先构造了这类Block型李代数的形式分布李代数，在此基础上，给出了它的李共形代数，并研究了李共形代数的自由中间序列模，最终给出了中间序列模的分类。李超代数和它们的表示理论在研究物理系统的超对称性方面起着十分重要的作用。在李超代数方面，我们具体研究了一类李超代数C(n + 1)的表示。给出了李超代数osp(2|2n)的Verma模及这类李超代数的VCS表示。在李代数的表示方面，我们对W(a,b)李代数的不可分解的中间序列模进行了分类，并且证明了W(a,b)上的Harish- Chandra模或者是一个最高权模(最低权模)或者是一个一致有界模。在李代数的结构方面，我们研究了loop Virasoro代数和广义map Virasoro代数，分别在不考虑中心的情况下，决定了它们的导子代数、自同构群和二次上同调群。