子群的嵌入性质与局部构造对有限群结构的影响

The relationship between a finite group and its subgroups is an important subject to study in the finite group theory. The aim of our project is to make a contribution to this subject. More specifically, we will study the influences of some embedding properties and some structural properties of subgroups on the structures of finite groups..(1).About our study on the influences of embedding properties of subgroups: We will investigate how some embedding properties of subgroups might effect some chief factors of finite groups, the structure of the normal closures of these subgroups in finite groups, and some quantitative properties of finite groups. Our study will reveal some deep relations between some embedding properties of subgroups and the structures of finite groups..(2).About our study on the influences of structural properties of subgroups: Our study includes some classical subjects in finite group theory, for instances, we will study how some structural properties of the Sylow p-subgroups of a p-soluble group affect the p-length of this p-soluble group, we will also investigate under what circumstances the p-nilpotency of the normalizers of the Sylow p-subgroups of a finite group would imply the p-nilpotentcy this finite group. Besides those classical subjects, we will study the relation between the intersection of the normalizers of the F-residuals (here F denotes a formation) of all subgroups of a finite group, and the structure of this finite group. This is a new research topic just emerged recently.

研究有限群与其子群的关系是有限群论的重要组成部分，本课题将继续这一方面的研究。特别地，我们将考察有限群的子群的某些嵌入性质以及局部构造对有限群结构的影响。.(1) 在研究子群的嵌入性质对群结构的影响方面：我们将综合考察有限群的子群的某些嵌入性质对于有限群的主因子，子群的正规闭包，以及有限群的一些数量性质的影响。我们的研究将从一个比较新的角度揭示子群的某些嵌入性质与群结构之间的深刻联系。.(2) 在研究子群的局部构造对群结构的影响方面：我们的研究内容包括了有限群论中一些经典的课题，如我们将研究Sylow p-子群的算术性质及结构性质对p-可解群的p-长的影响，以及研究在什么样的条件下，Sylow p-子群的正规化子的p-幂零性可以蕴含有限群本身的p-幂零性；另外，我们还将研究由有限群所有子群的F-剩余的正规化子的交所构成的子群与群系F及群构造的关系，这是最近出现的一个新课题。

群是数学中的最基本的对象之一，在基础研究中具有重要的理论意义。对有限群的结构的研究是群论中的重要课题。本项目从子群着手，主要考察子群的嵌入性质与西罗子群的局部构造对有限群的整体结构的影响，作为西罗子群局部构造的影响的研究的进一步深化，我们对融合系也做了初步的探索，本项目的主要研究内容与成果包括以下几个方面: .1. 对子群嵌入性质的研究: 我们研究了某些给定阶数 p-子群都满足半覆盖远离性质的有限群，证明了这样的群必定是p-可解群且 p-长不超过 1; 我们还考察了子群的可置换性对这个子群的正规闭包的影响，推广了著名群论学者Isaacs在这方面的一个工作。.2. 研究西罗子群的局部结构与有限群的整体结构的关系: 我们利用Engel条件，改进了经典的Burnside p-幂零准则；我们利用西罗子群的Wielandt序列，得到了 p-可解群的 p-长的一个估计， 改进了 Hall-Higman 理论中一个对于p-长的估计; 另外，我们还考察了具有亚循环西罗p-子群的有限群的结构性质。.3. 对融合系的研究: 我们考察了极小子群在控制融合系中所起的作用。我们的这方面的工作在一种特殊情形下改进David Benson 等人2014年发表在Invent.Math上的相关结果。.总体而言，本项目的研究在前人的基础上，进一步探索了子群的嵌入性质与局部构造对有限群结构的影响，取得了一系列有意义的结果, 具有一定的理论价值.