弱双曲系统的SRB测度、物理测度

A measure with good statistical properties is supported on a uniformly hyperbolic attractor. This measure is called an Sinai-Ruelle-Bowen measure (SRB measure). For systems which are beyond uniform hyperbolic, one doesn't know the existence of SRB measures and the properties of SRB measures in general. This project will focus on the research the existence and properties of SRB measures for dynamical systems with some weak hyperbolicity (such as partial hyperbolicity and singular hyperbolicity). These systems with weak hyperbolicity are abundant beyond uniform hyperbolicity. The applicant has been committed to the research of density of weak hyperbolic systems and differentiable ergodic theory, has published several papers on the density of weak hyperbolicity and has completed several papers on the existence of SRB measures (to be published).

一致双曲吸引子上支撑了一个具有很好统计性质的测度。这个测度被称为Sinai-Ruelle-Bowen测度(SRB测度)。对于一致双曲之外的系统，是否存在SRB测度，以及SRB测度所具有的性质还不清楚。本项目将着重来研究具有某种弱双曲性质的系统（如部分双曲系统以及奇异双曲系统等）的SRB测度的存在性以及性质。这类具有弱双曲性的系统在一致双曲之外是大量存在的。申请人一直致力于弱双曲系统的稠密性以及微分遍历论的研究，已经发表了若干关于弱双曲系统稠密性的论文以及完成若干弱双曲系统SRB测度的待发表论文。

将遍历论的思想引入微分动力系统，就形成了微分遍历论。微分遍历论主要考虑一些可微系统特有的性质，如熵与Lyapunov指数的关系。特别地，如果对一个可微系统，一个遍历测度的测度熵等于这测度的正Lyapunov指数之和，这个测度就被称为Sinai-Ruelle-Bowen测度，简称为SRB测度。很多情形下，SRB测度具有很好的性质：如对足够光滑的系统，一个双曲的SRB测度就是一个可观察的物理测度。申请人主要关注了部分双曲以及非一致双曲情形下的SRB测度的存在性、有限性以及各种统计性质，并利用SRB测度的性质来研究系统的各种统计性质。在部分双曲的情形下，以前Alves-Bonatti-Viana等人主要是在使用迭代某种不稳定流形的方式，进而利用Young tower的方法来得到SRB测度的存在性。我们采用另一条路来构造SRB测度，即通过某种控制熵公式（或者称之为控制熵不等式）来得到某类部分双曲系统的SRB测度。特别地，这种方法对于有强不稳定流形的部分双曲吸引子来说，可以推广Pesin-Sinai所定义的Gibbs-u测度的定义，并且给出一系列推论；对于奇异双曲吸引子，我们也用这种想法讨论了其上SRB测度的性质。...在本项目资助下，我们发表了多篇学术论文，发表在Comm. Math. Phys., Sci. China Math., Adv. Math., Math. Z., J. Inst. Math. Jussieu, J. Differential Equations., Proc. Amer. Math. Soc., Nonlinearity, Discrete Contin. Dyn. Syst.等国际知名学术期刊。