半整体域上的可除代数和二次型相关算术问题

This research project is concerned with arithmetic problems about division algebras and quadratic forms defined over semi-global fields. A semi-global field is the function field of an algebraic curve over a complete discrete valuation field, or another kind of fields with similar properties. For a central division algebra D over a field, one can consider the kernel of the Rost invariant map associated to the special linear group SL_1(D), the so-called Rost kernel. For semi-global fields it is known that in some cases the Rost kernel is trivial. In this project, we want to study what happens in more general cases, and we expect to give more precise descriptions of the Rost kernel when it is nontrivial. This is closely related to an important conjecture of Colliot-Thelene, Parimala and Suresh. For the completed localizations of semi-global fields we have already obtained some partial results. For quadratic forms, we aim to study upper bounds of the u-invariant of semi-global fields. Currently, open problems in this direction are mainly about the case with residue field of characteristic 2. When the residue field is imperfect, we expect explicit upper bound results; and when the residue field is perfect, we hope to improve known upper bounds in the literature.

本项目计划研究半整体域上关于可除代数和二次型的一些算术问题。 所谓半整体域是指完备的离散赋值域上代数曲线的函数域，或者另外一类性质十分相近的域。对于一个域上的中心可除代数 D, 可以考虑特殊线性群SL_1(D)的 Rost 不变量映射的核(称为Rost 核)。对于半整体域的情况，已经知道了一些情况下Rost核是平凡的。我们计划研究在更一般的情况下，如果Rost核非平凡该如何给出精确的刻画。这个问题和 Colliot-Thelene, Parimala 和 Suresh 提出的一个重要猜想有关。目前我们已经对完备化的局部情况有了初步结果。关于二次型, 我们计划研究半整体域的u不变量上界估计问题。目前这方面的未知问题主要针对剩余类域特征是2的情况。对于剩余类不是完全域的情况，我们希望给出半整体域的u 不变量的明显上界，而对剩余类域为完全域的情况，我们希望改进前人工作中已有的上界。

本项目的主要研究内容是具有特殊算术性质的一类域上的可除代数和二次型相关算术问题。..在可除代数方面，我们考虑了一类完备离散赋值域上的可除代数，对它们的 Rost 核进行了深入研究。这项研究的背景可以追溯至 Serre 与上世纪 60 年代提出的关于 Galois 上同调的第二猜想。本项目推广了 Parimala, Preeti 和 Suresh 于 2018 年的结果，并研究了 Suslin在上世纪80年代提出的一个猜想，我们证明了该猜想的一些新情况，并且指出了如何重述该猜想可以更好地理解现有的例子。..关于二次型，我们从几何角度研究了任意特征为 2 的域上光滑二次超曲面的（余维数）2阶和3阶周群的计算，以及次数不超过3的非分歧上同调群。这些研究内容都和特征2时域的u不变量特殊取值这一重要问题有关。..本项目研究成果已发表论文2篇，另有2篇预印本论文已经投稿。