Stokes/Darcy 耦合问题的数值方法及预处理技术研究

In this project, we will study the coupling of Stokes/Darcy equations. The model of Stokes/Darcy coupled equations is a combination of the Stokes equations in the free fluid region and Darcy equations in the porous media region, coupled with the appropriate interface conditions. We are interested in numerical analysis and calculations of the coupled Stokes/Darcy equations. The problems under consideration are: Firstly, developing the generalized MAC scheme of the coupled Stokes/Darcy equations, and developing the kernel free boundary integral method to solve the coupled problem. Then, constructing the preconditioning matrix of the Stokes/Darcy system, and using preconditioned conjugate gradient method to solve the problem more efficiently. Finally, considering the design and analysis of numerical method for Stokes-Darcy-Transport coupled system. Our study will not only enrich the numerical theory of computational fluid mechanics, but also provide theoretical guidance and numerical prediction for practical application. It also will lay a foundation for the study of unsteady Navier-Stokes/Darcy coupling equations in future.

本项目主要研究由自由流体区域中的Stokes方程、多孔介质区域中的Darcy方程、以及某些合适的交界面条件构成的Stokes/Darcy耦合模型。我们将对该耦合模型中的热点问题展开理论和数值两方面的研究，具体内容包括：首先建立Stokes/Darcy耦合问题的广义MAC格式，以及发展针对该耦合问题的无核边界积分法，对其进行数值求解；然后在此基础上进一步构造该耦合问题的预处理矩阵，并应用预处理共轭梯度迭代法进行更高效的数值求解；最后建立相关的Stokes-Darcy-Transport问题的算法设计和数值分析。我们的研究结果不但会丰富计算流体力学相关数值理论，并为实际应用提供数学角度的理论指导与数值预测，而且还为将来研究更复杂的非稳态Navier-Stokes/Darcy耦合模型奠定基础。

在人们的生活和生产活动中随时随地都可遇到流体，所以流体力学是与人类日常生活和生产事业密切相关的。本项目主要从理论上研究流体力学的各类偏微分方程的适定性问题以交换不稳定性问题。本项目所得主要结果有：1. 证明了当绝热指数为5/3时且质量适当小时，可压Navier-Stokes方程组的弱解存在有界吸引集，并进一步建立起对应的大时间行为。2. 证明了一维稳态量子Navier-Stokes方程组存在古典解。3. 绝热指数大于3/2时，可压缩Navier-Stokes-Vlasov-Fokker-Planck方程组存在全局有界能量弱解。4. 关于磁场或粘弹性对瑞利-泰勒（RT）不稳定性影响取得一些结果，其中包括：a. 对于水平磁场或者磁场强度比较小的垂直磁场情况，从数学角度证明了不可压无磁耗散的粘性磁流体存在RT不稳定解；b. 当弹性系数比较小时，证明不可压或可压粘弹性流体存在RT不稳定性解；c. 在线性分层不可压粘弹性流体的RT不稳定性问题中，给出了弹性系数对线性不稳定性增长率的定性关系，特别地，发现当弹性系数趋于临界值时，增长率将趋于0；并进一步把所得结果推广到线性化分层不可压无磁耗散粘性磁流体情形。5. 从数学角度上证明了没有热传导的可压无磁耗散的粘性磁对流问题的非线性对流不稳定性。6. 利用多层能量方法，并通过对旋转项的精细估计，证明了不可压无磁耗散粘性磁流体运动方程组在旋转作用下存在全局小解。我们所得理论结果不但丰富了流体力学的数学理论，也有助于理解纯流体、磁流体以及粘弹性流体的动力学行为。