基于Darcy-Stokes耦合模型的水污染问题数值模拟方法

The combination of the Stokes-Darcy coupling equation with the interface boundary and convection-diffusion equation about concentration describes the actual migration of contaminant between the free-flowing surface water and seepage ground water incisively. Developing acute and efficient numerical simulation method about this combination could reveal the actual flowing and seepage movement mechanism, which means important theory value and application prospect to guide scientific engineering practice, improving theory of value analysis could as well. .Concerned to the Darcy-Stokes coupling equation, this project is built up to research on the mixed finite element method of the Darcy equation and discontinuous finite volume method of the Stokes equation. We would solve the problem of interface between flow regions and seepage regions, utilizing the discontinuity of respective functions. Concerned to the convection term in the concentration equation, we could use the upwind or characteristics methods which combine discontinuous finite volume method to make numerical simulation，then we would get the concentration distribution of the contaminant. Combining it with obtained flow velocity and compression，we could make the dynamic simulation of the contaminant migration between the two medium. . On the basis of the Convergence and stability analysis, the mathematics model would forecast the time and distribution of the contaminant migration, which would provide quick and straightforward decision reference about the water resources protection, especially in the environmental emergencies.

带交界面的Darcy-Stokes耦合系统结合关于浓度的对流扩散方程刻画了污染物在具有自由流动地表水和渗流地下水实际运移过程，发展其准确高效的数值模拟方案，对深刻揭示实际流动和渗流的运动机理、指导科学工程实践具有重要的理论价值与应用前景。本项目针对耦合Darcy-Stokes系统, 研究Darcy方程混合元方法以及Stokes方程的间断有限体积方法，利用各单元函数间断的性质处理流动区域和渗流区域的交界面问题。针对浓度方程中含有对流项的特点，采用迎风或特征线法结合间断有限体积方法进行数值模拟，得到污染物的浓度分布,进而结合求得的流速和压力，动态模拟污染物在两种介质中的运移规律。在进行严格的收敛性和稳定性分析的基础上，将通过算法程序实现对污染物运移的时间预报和浓度预报，为水资源保护特别是应对水污染突发性事件提供快速、直观的决策依据。

水污染问题已受到各国政府、企业和学术界的普遍关注，数值模拟技术逐渐成为研究分析水资源各种问题的重要手段。考虑单向流场中示踪剂的二维弥散造成污水渗流的实际问题，得到污染物在不同时刻下的浓度分布，动态模拟污染物在介质中的运移规律。构造二维非定常对流扩散方程的四阶紧致差分格式，该格式为两层格式，时间具有二阶精度，空间具有四阶精度。四阶紧致差分格式所形成的系数矩阵具有特殊结构，系数矩阵为九对角的稀疏阵，利用傅立叶增长因子法进行了稳定性分析，验证了该格式无条件稳定性。在对流扩散问题研究中，对流占优问题是一大难点，标准有限元方法处理对流占优问题时，数值解会出现非物理震荡现象，从而导致数值解严重失真。针对带有指数层问题的奇异扰动对流扩散方程, 讨论了流线扩散有限元方法在Shishkin三角形网格的L2估计。基于Fick定律和守恒律，传统的二阶微分方程可以刻画在均匀介质地下水流中污染物的传播，然而在许多复杂系统的扩散进程中，运动粒子的平均平方位移与时间变量成幂律依赖关系，这就需要一种新的模型来精确刻画反常扩散或非-菲克扩散的过程，对变系数双边分数阶扩散方程和时间分数阶慢扩散方程进行了研究。另一方面，在传统的Fick扩散定律描述的扩散现象中，一点在经过的一瞬时，在极远处就会受到该点的扰动影响，扰动的传播速度似乎是无限的，然而这个属性是非物理的，所研究的Cattaneo模型通过增加一个松弛时间项修正了这一现象。对上述问题，提出了四阶紧致差分方法，通过 MATLAB 软件编程进行数值模拟，给出了数值算例。本项目在进行严格的收敛性和稳定性分析的基础上，通过算法程序实现对污染物运移的时间预报和浓度预报，为水资源保护特别是应对水污染突发性事件提供快速、直观的决策依据。