Lévy过程和分数阶Lévy过程驱动的动力系统的动力学性质研究

We deeply study bifurcation theory for random dynamical systems driven by Gaussian process, and we establish stochastic bifurcation theory for random dynamical systems driven by Lévy processes and fractional Lévy processes，thus we systematically study the dynamical nature of random dynamical system. The problem of cocycle property and compactness of random dynamical system is key. We discuss the problems of stochastic bifurcation, Homoclinic (Heteroclinic) loops bifurction, random attractor and stochastic chaos for random dynamical systems driven by the different sources and statistical properties stochastic process, we study the geometric structure and properties of random attractor, Homoclinic (Heteroclinic) loops, Heterodimensional cycle and invariant measure, and the relationship between the invariant measure and random Homoclinic (Heteroclinic) loops and Heterodimensional cycle. We compare the dynamical properties of stochastic dynamical systems driven by Lévy processes, fractional Lévy processes and Gaussian processes, and we analyze and discuss the essential difference between random dynamical systems and deterministic dynamical systems, and we study the new problems and phenomena of the differential dynamical systems driven by random factor.

本项目对Guass过程驱动的随机动力系统的分支理论进行深入研究，建立 Lévy 过程和分数阶Lévy过程驱动的动力系统的分支理论，从而进一步系统深入研究随机动力系统的动力学性质。 随机动力系统的Cocycle 性质验证和紧性问题是研究Gauss过程 、Lévy过程 和分数阶Lévy过程驱动的随机动力系统动力学行为的关健。探讨不同来源，不同统计特性下的Lévy 过程驱动的动力系统的随机分岔、随机同（异）宿分支、随机吸引子和随机混沌等问题，研究随机吸引子、同（异）宿环、异维环和不变测度的几何结构和性质，以及不变测度与同（异）宿环和异同维环之间的关系。比较Lévy过程 、分数阶Lévy过程和Gauss过程驱动的动力系统的动力学性质的异同，分析和讨论随机动力系统与确定性动力系统的动力学本质区别，研究随机因素给微分动力系统带来的新问题和新现象。

随机微分几何理论和分支问题等定性性质的研究一直是随机微分系统领域的一个研究重点和热点，在数学、物理、生物、经济和工程等领域上有很强的应用背景，因此探索建立一整套相关随机微分系统的几何理论与分支方法对科学与工程应用具有重要的理论和应用价值。本项目是关于Lévy 过程和分数阶Lévy过程驱动的动力系统的动力学性质研究。研究成果由16篇学术期刊论文组成，其中SCI已经收录12篇，EI和核心论文4篇。这些论文分成三组，第1组由六篇论文组成，这一组论文主要研究Lévy 过程驱动的微分系统的动力学性质，讨论了一些著名的随机混沌系统的随机稳定性，随机吸引子几何结构、不变测度性质、随机分支复杂性构成机理、大偏差原理及相关内容。第2组由五篇论文组成，这一组论文主要研究分数阶过程驱动的微分系统的动力学性质，深入探讨分数维动力系统的稳定性、分支存在性、概周期型解的存在性以及相关性质。第3组由五篇论文组成，这一组论文主要研究时滞系统的稳定性和拓扑空间紧性的相关问题。结果显示Lévy 过程和经典的布朗运动过程对动力系统的动力学性质影响有着很大的差异，从而，我们发展了一些非线性随机动力系统的新理论和方法。