随机微分系统的动力学性质研究

Stochastic differential geometry theory and bifurcation qualitative nature has always been an important and hot topic in the field of stochastic differential systems，it has a strong application background in mathematical, physical, biological, economic and engineering field, therefore, we explore to establish a set of correlated the geometric theory and bifurcation method of stochastic differential system which has important theory and application value for scientific and engineering applications. In this project, we further study dynamical properties of stochastic differential systems, the long-term behavior of the distribution density of solutions and the convergence problem, set up between the spectral stability, stochastic stability and rate of mixing the robustness issues such as linkages. We study the mean field random dynamic systems cocycle verification of properties, compactness problem and the long-term behavior of solutions. We establish between the exit problem and stability problem with stochastic differential system connection, systematically and completely determine the dynamics of the bifurcation point of stochastic differential systems at different levels and in different position of the sample trajectory "bifurcation region" and "bifurcation interval", and we precisely characterize dynamic behavior of the influence of noise for high codimensional dynamical system, thus, we establish a set of correlated stochastic qualitative theory and method.

随机微分几何理论和分支问题等定性性质的研究一直是随机微分系统领域的一个研究重点和热点，在数学、物理、生物、经济和工程等领域上有很强的应用背景，因此探索建立一整套相关随机微分系统的几何理论与分支方法对科学与工程应用具有重要的理论和应用价值。本项目进一步研究随机微分系统的动力学性质，研究解的分布密度的长期行为及其收敛性问题，建立谱的稳定性、随机稳定性和混合率的健壮性等问题之间的联系。研究平均场随机微分方程及其产生的平均场随机动力系统的Cocycle 性质验证和紧性问题，进一步研究其解的长期性行为。建立离出问题与随机微分系统的样本稳定性问题之间的联系，系统而完整地确定随机微分系统不同层次的分岔点的位置以及样本轨线在不同“分岔区域”和“ 分岔区间” 上的动力学性态，准确地刻画噪声对于高余维拓扑奇点邻域内系统的动力学行为的影响，从而，建立一整套相关随机定性理论和方法。

随着随机动力系统理论及其应用研究的不断深入，人们逐渐认识到，随机因素的影响不仅仅是对确定性模型存在的缺陷的补充，而且很多时候反映了这些现象的内在的本质，因此探索建立一整套相关随机微分系统的几何理论与分支方法对科学与工程应用具有重要的理论和应用价值。. 本项目是关于随机微分系统的动力学性质研究，研究成果由18篇学术期刊论文组成，其中SCI已经收录12篇，EI和核心论文4篇。这些研究成果由三部分组成，第1部分由6篇论文组成，这一部分主要研究了随机微分系统的解分布密度的长期行为及其收敛性问题，建立平稳分布、共存性、排斥性和不变测度存在性准则及其之间的联系。第2部分由5篇论文组成，这一部分主要研究了随机微分系统的随机稳定性、随机分岔、随机吸引子等几何结构性质，系统而完整地确定随机微分系统不同层次的分岔点的位置以及样本轨线在不同分岔区域和分岔区间上的动力学性态。第3部分由5篇论文组成，这一部分主要研究了随机微分系统的渐近概周期弱解、渐近周期温和解、渐近概自守弱解的存在性问题。从而，我们发展了随机微分系统的定性理论和方法。