Lévy过程驱动的非光滑随机流若干问题研究

Stochastic differential equations (SDE) driven by Lévy processes with regular coefficients have been studied extensively, and there are fruitful results nowadays. However, in many applied discipline fields such as physics, biography, finance and control etc., one needs to deal with SDEs with irregular and degenerated coefficients. Based on our earlier works on stochastic flows driven by Brown noises with Sobolev regularity coefficients in the framework of DiPerna-Lions theory, we shall use probabilistic method together with some analysis tools to study the stochastic flows for SDEs driven by Lévy processes with irregular coefficients. More precisely, we shall study the following problems: 1. Large deviation principles for homeomorphism flows of stochastic differential equations. 2. Support theorem for almost everywhere stochastic flows of SDEs driven by multiplicative pure jump Lévy processes. 3. Establish the superposition principle between SDEs with jumps and nonlocal partial differential equations.

由Lévy过程驱动的正则系数随机微分方程已经被广泛研究，成果已经非常丰富。而在物理、生物、金融及控制等应用科学领域，我们经常需要处理非正则甚至退化系数的随机微分方程。基于前期我们在DiPerna-Lions理论框架下关于Brown噪声驱动的具有Sobolev系数随机流的相关问题研究，本项目拟采用概率技巧与分析工具相结合的方法，研究一般可乘Lévy噪音驱动的随机微分方程随机流性质，具体包括：1、同胚流的大偏差原理。2、可乘纯跳Lévy过程驱动的随机微分方程广义流的支撑定理。3、可乘Lévy过程驱动的随机微分方程与对应非局部偏微分方程的超位置原理。

正则系数随机微分方程已经被广泛研究，成果已经非常丰富。而在物理、生物、金融及控制等应用科学领域，我们经常需要处理非正则甚至退化系数的情形。本项目采用概率技巧与分析工具相结合的方法，研究一般可乘Lévy噪音驱动的随机微分方程随机流性质，具体如下：（1）考虑有限维框架下一类非Lipschitz系数McKean-Vlasov随机微分方程的Freidlin-Wentzell型大偏差原理，将此类条件下经典随机微分方程的相关结论推广到McKean-Vlasov随机微分方程。在此类McKean-Vlasov随机微分方程解的存在唯一性基础上，采用弱收敛方法得到其大偏差原理。（2）用Millet和Sanz-Solé 的简易方法证明分数布朗运动驱动的Itô–Volterra方程方程的支撑定理。（3）考虑全空间带参数非局部Poisson方程解的正则性，并得出奇异扰动非局部柯西问题解的渐进行为。作为应用，得到带可乘跳的快慢随机微分方程的平均化原理，并得到其对应的收敛速率。（4）考虑非Lipschitz系数McKean-Vlasov随机微分方程的强定性、混沌传播和Euler’s逼近。