两类典型电磁场问题的自适应混合有限元法

The H(curl)-elliptic problems and time-harmonic electromagnetic problems are two classes of electromagnetic models which can be applied into different kinds of applications, and how to design and analyze the corresponding efficient numerical approximation is also a very active research area of scientific computation and engineering simulation. Mixed finite element methods are one of the most important discretization methods, and adaptive methods can successfully conquer the singularity of real solution. However, there are only few research results for a posteriori error estimation for the adaptive mixed finite element methods (AMFEM). We will investigate the corresponding AMFEM for the above two classes of typical Maxwell equations, design a residual type posteriori error estimations and the adaptive algorithms, and establish the convergence of AMFEM. We need to conquer some difficulties, which comes from the failure of orthogonality, the indefiniteness or strong jump coefficient of model problems and so on. Recently, we have obtained some research achievement on mixed finite edge element methods. Our research will enrich our knowledge in the existing research for computational electromagnetism.

H(curl)椭圆问题和时谐电磁场问题是两类具有重要应用背景的电磁场模型问题,设计和分析相应的高效数值求解方法也是当前科学计算和工程模拟的研究热点之一. 混合有限元法是计算电磁场中重要的离散化方法之一,而自适应方法可以较好地求解具有奇性解的电磁场问题,但是关于电磁场问题自适应有限元方法的已有理论研究工作主要集中在棱有限元离散系统. 关于自适应混合有限元方法,仅有少量的文献研究后验误差估计. 本项目将研究上述两类典型电磁场问题的自适应混合有限元法,构造相应的基于残量型后验误差估计子和相应的自适应算法,并分别证明后验误差估计子的有效性和可靠性,以及自适应算法的收敛性. 我们将面临诸多难点: 如不同误差之间不满足正交性、模型问题的不定性和电磁系数的强间断性等等. 本人在混合有限元法等方面已有一定的前期工作积累,相信本项目的研究成果将会丰富和完善已有的计算电磁场的研究工作.

围绕项目的原定研究内容: H(curl)椭圆问题和时谐电磁场问题的自适应混合有限元方法，及其它相关有限元离散系统的快速求解算法等，取得了若干理论和算法研究成果。关于二维 H(curl)椭圆问题的自适应混合内罚间断有限元方法，设计和分析了一种基于混合内罚间断有限元方法的离散变分问题，构造了一种新的基于残量型的后验误差指示子, 并证明了误差指示子的可靠性和有效性；针对三维 H(curl) 椭圆问题的自适应混合内罚间断有限元方法，构造了相应的后验误差指示子, 并证明了关于误差函数的范数与尺度化的误差指示子之和在自适应迭代过程中是压缩的, 即自适应混合内罚间断有限元方法是收敛的；关于二维和三维时谐电磁场问题的自适应混合内罚间断有限元方法，构造了基于残量型的后验误差指示子, 并证明误差指示子的可靠性和有效性。最后针对相关有限元离散系统的设计和分析了相应的快速求解算法：针对非对称或不定椭圆问题的协调有限元离散系统，设计和分析了一种新的迭代两水平算法; 针对一类强非线性二阶椭圆边值问题的协调有限元离散系统，设计和分析了一种迭代两格法算法。本项目在申请结题时已在 Appl. Math. Lett. 上发表学术论文 1 篇；有 3 篇完整的学术论文已经上传至 arxiv 网站，且已分别投稿于 Adv. Appl. Math. Mech.、J. Comput. Appl. Math. 和 SCI China Math.；目前还有两篇学术论文正在等待完善论文写作和相应数值实验后再进行投稿；联合培养一名博士研究生，预计于今 2023 年 6 月进行博士学位论文答辩。