数值微分不确定性原理在有限差分法求解偏微分方程最优步长选取中的应用

In numerical solutions of nonlinear systems, the computational uncertainty principle(CUP) is surely exist under finite machine precisions. The selections of stepsizes are very important for the reason that there is a limit to the best ability of effective simulation, which is achieved when using the optimal stepsize. Systematic theories of optimal stepsizes theories in numerical solution of ordinary differential equations(ODEs) had been established, while it is has not been found in numerical computations for partial differential equations(PDEs). This project makes researches on solving PDEs by using the finite difference method. Based on numerical differential computational uncertainty principle, the propagation law of the total errors of numerical solution will be investigated. Relationships between total errors and space(time) stepsizes will be studied, so as to give the optimal space(time) stepsizes in numerical solutions. In addition, the universal relations between optimal stepsizes (maximally effective computation times) under different machine precisions will be investigated. Compared with conventional methods, the method utilized in this project will be more accurately reflect the accumulation processes of numerical solution total errors, and is more conducive to researching on matching problem between different kinds of stepsizes. A new way for choosing the optimal stepsizes (maximally effective computational times) for numerical solution of PDEs will be provided. The conclusions of this project will provide theoretical support for selections of resolutions in atmospheric numerical models.

对于数值求解非线性系统，在机器有限精度下，计算不确定性原理必然存在，步长的选取对计算结果至关重要，只有取在最优步长处才可以达到运算的最好效果。此问题在数值求解常微分方程领域已经有了系统性的结论，但在偏微分方程领域中，尚未见到其时、空最优步长问题的系统性研究。本项目针对有限差分法求解偏微分方程，从求解的最基本计算步骤，数值微分运算入手，以其满足的不确定性原理为理论基础，考察其总误差在数值求解过程中的传播，研究数值解总误差与时、空步长之间的关系，从而为最优时、空步长制定选取方案。另外，研究不同机器精度下的最优时（空）间步长（最大有效计算时间）之间是否存在普适关系。所用方法与常规方法相比，能够更真实的反映数值解总误差的累积过程，并且更有利于研究各个步长之间的匹配问题。这方面工作的开展，将为数值求解偏微分方程中最优时、空步长选取的研究提供一个新的思路，并为大气数值模式中分辨率的选取提供理论支持。

对于数值求解微分方程，舍入误差的存在会使计算存在不确定性，此时需选取最优的步长才能达到最满意的运算效果。在偏微分方程领域，关于最优步长的系统性理论研究目前还很少见。项目对于五种经典的偏微分方程数值求解格式，包括一维扩散方程四点显式格式、一维平流方程的迎风格式、Lax-Friedrichs格式、Lax-Wendroff格式和蛙跳格式，应用理论分析与数值试验相结合的方法，研究它们最优时、空步长的选取问题。结合数值微分的误差理论，研究数值求解过程中产生的截断误差和舍入误差，以及两种误差逐层向高时间层传播的累积，得到了新的数值解总误差上界的理论近似公式。对于前三种求解格式，给出了最优时、空步长与最大有效计算时间函数的理论公式；在精确解未知的情况下，给出了最优时、空步长的近似估计方法；得到了最优时、空步长和最大有效计算时间函数在两种不同机器精度下之比满足的仅与机器精度有关的普适关系；所得公式的可靠性经过了数值试验的验证；在网格比固定的情况下，验证了数值求解满足数值计算的不确定性原理。对于后两种求解格式，给出了最优空间步长的理论公式。另外，项目还对数值微分最优运算问题进行了进一步的研究，在函数表达式未知的情况下，给出了一种估计最优步长与最小误差近似值的算法，得到了两种不同机器精度下最小误差之比满足的一种普适关系。项目所得结论可为进一步在更复杂的数值格式以及大气数值模式中确定最佳分辨率提供理论支持。