一般跳分布下的跳扩散模型的期权定价理论及其应用

Jump-diffusion model has important applications in option pricing theory, which has been widespread concerns with both academia and industry. The form of jump-size distribution has a very big impact on the jump-diffusion option pricing model. Empirical studies show that different markets have a variety of different forms of jump-size distributions. But so far only for log-normal distribution and log-double-exponential distribution exist analytical solutions. This project attempts to study the theory and application of jump-diffusion option pricing model with general discrete jump-size distributions. This is groundbreaking research in the international arena, which makes its high theoretical and practical value. Funded by the last project, the jump-diffusion model for general jump-size distribution was studied. We established the theoretical framework and put forward a good conclusion (related article is currently in Minor Revision status on the Management Science magazine). Based on these pre-researches, this project will improve the theoretical option pricing model of discrete jump-diffusion process, study the pricing formula of American options, Asian options, barrier options and other path-dependent options. At the same time, in order to apply related theory better, the corresponding parameter estimation and calibration optimization methods will be studied, the efficiency of the algorithm will be improved, and the use of relevant outcomes particularly in the insurance economics will be performed.

跳扩散模型在期权定价理论中有重要应用，得到了学界业界的广泛关注。跳分布的形式对基于跳扩散模型的期权定价有非常大的影响，实证研究表明不同市场具有多种跳分布，但目前只有当跳分布服从对数正态分布或者对数双指数分布时具有解析解。本项目试图研究一般跳分布形式下的跳扩散模型的期权定价理论及其应用，在国际上属于开创性的研究，具有较高的理论意义与应用价值。我们在前期项目的资助下，对于一般跳分布下的跳扩散模型的欧式期权进行了研究，建立了相应的理论框架，得到了较好的结论（相关文章目前在Management Science杂志处于Minor Revision状态）。本项目将以此为基础，完善离散跳扩散过程下的期权定价模型的理论，研究美式期权、亚式期权、障碍期权等路径依赖型期权的定价公式；同时，为更好地应用相关理论，本项目还将研究相应的参数估计及校准方法，提高算法的计算效率，以及在经济学特别是保险经济学中的应用。

该项目研究了一般跳扩散过程下的期权定价问题及其应用。自Black-Scholes公式诞生以来，期权定价受到学界和业界的普遍关注，但同时其对资产价格连续性与常数波动率的假设也广被诟病。针对这些问题，学者们提出了各种模型，他们主要分为两类：一是跳扩散模型，假设资产价格不只是连续变化的，也包含跳成分；二是随机波动率模型，假设波动率服从某个随机过程，捕获波动率均值回复、聚集等特征。.目前，在跳扩散模型下，只有跳服从对数正态分布和混合指数分布时，期权价格的解析解才存在，而当跳服从离散分布时，最好的结果是一种递归的数值定价算法。我们的工作考虑资产价格服从离散过程，表达欧式期权价格是基础资产路径的加权和，借助组合数学中的生成函数，推导了欧式期权价格的解析解，同时证明了当离散步数趋于无穷时收敛到连续解。我们的定价方法有多项式的算法复杂度和不依赖于跳分布的特点，因此这也为以后的研究提供了一种筛选理想跳分布的方法。.前期工作考虑了一般跳扩散模型下的期权定价，随着研究的不断深入，我们也考虑了当波动率服从某个随机过程时的期权定价问题。在该领域中，目前被广泛接受的是基于CIR过程的随机波动率共同跳模型，但是此类模型在建模资产波动率的持续性和突变性方面产生了与事实不符的结论。受Naik等人研究启发，我们考虑了马尔科夫随机波动率共同跳模型，并推导了该模型下期权价格的解析解。我们借鉴了Hull和White的研究：期权价格是经典Black-Scholes公式中当方差等于期权存续期内方差均值时对应的期权价格。同时我们设计了高效算法，克服了传统方法在计算方差均值上的困难。数值实验充分说明了我们定价方法的准确性和算法的有效性。.鉴于当前环境中违约事件频发，我们将信用风险融入到期权中，研究脆弱期权的定价问题。脆弱期权考虑了因交易对手方资产价值下降而导致合约无法履行的情况。此外，我们还在保险经济学、金融网络等方面进行相关研究，并且已经分别得到部分结论。