Hessian加法方程及相关加法曲率方程的研究

The Hessian equations are the main topics in fully nonlinear partial differential equations and geometric analysis. The k-Hessian equations are the core of this field which have fruitful results over the past few decades. Our project plans to consider the sum Hessian equations and related the sum curvature equations. We will try to establish the C2 estimates and give the exitence. The left hand side of the sum Hessian equations are the summation of two different k-Hessian operators. These type obviously includes the k-Hessian equations which also can be considered as a special type of the Lagrange equations. We will generalize our known theories of the k-Hessian equations to the sum Hessian equations. Meanwihle, the global C2 estimates of k-convex solutions for the k-Hessian equations is a longstanding conjecture. Our project will continue to consider this conjecture and wishes to obtain some new breakthough results.

Hessian方程是非线性偏微分方程和几何分析领域的重要研究内容。k-Hessian方程是这一领域的研究核心，有很多的研究结果。本项目将把k-Hessian方程的研究向一般Hessian方程推广，主要研究Hessian加法方程和相关加法曲率方程解的C2估计和解的存在性。Hessian加法方程的左端是两个k-Hessian算子的加和形式，涵盖了k-Hessian方程，它也可以看成是一种特殊的Lagrange方程。本项目将对照k-Hessian方程中的一些已有结果展开研究，把k-Hessian方程中的结果扩展到Hessian加法方程。另外，k-Hessian方程k-凸解的全局C2估计，至今没有被完全解决，本项目还将在这个问题上做一些研究，有望取得一些新的突破。

Hessian方程是非线性偏微分方程和几何分析领域的重要研究内容。其中包含经典Monge-Apere 方程和Possion方程的k-Hessian方程，在几何中有许多重要的应用，是这一领域的核心研究内容。关于k-Hessian方程的系统性研究始于1985年Caffarelli L.，Nirenberg L.和Spruck J.发表在Acta Mathematics上的工作。此后有很多数学工作者从事这一领域的研究，并取得了很多重要的研究成果。随着k-Hessian方程理论研究的发展，有越来越多的学者开始研究一般的Hessian型方程。类似于从Monge-Ampère方程到k-Hessian方程研究推广那样，从k-Hessian方程向一般Hessian方程理论研究的推广，将是未来长时间内的一个发展趋势。. 本项目主要研究由k-Hessian方程和对应的曲率方程推广而来的Hessian加法方程和对应的加法曲率方程解的C2估计相关问题，试图将k-Hessian方程中的相关结果推广到加法Hessian方程上。我们注意到具有一般右端函数的k-Hessian方程和对应的曲率方程k凸解的全局C2估计是一个存在很长时间的公开问题，目前只有k=1,2,n-1,n这几种情况被彻底解决。我们希望借着对加法Hessian方程的研究，能够充分理解k-Hessian算子的性质，以期对k-Hessian方程k凸解的全局C2估计这个公开问题取得一些实质性进展。. 本项目取得的重要结果有：. 1.彻底解决了k=n-2情形k-Hessian方程和曲率方程二阶导数估计这一公开问题，并且把这一结果应用到Minkowski空间中的曲率问题上，使得Minkowski空间中的相应问题得到解决。对n<2k情形，把该问题归结为证明一个二次型的正定性问题。. 2.对于k凸解，建立了加法Hessian方程Pogorelov型二阶导数估计，利用这个估计，证明了加法Hessian方程的一个刚性定理。对k=2,3以及右端函数关于梯度是凸函数的情形，建立了可容许解的Pogorelov型二阶导数估计。. 3.证明了加法k-Hessian算子的Newton-Maclaurin型不等式。. 这些结果促进了Hessian方程的理论研究，会在将来的研究中有更多的应用。