调和分析对微分算子应用的研究

Modern harmonic analysis is one of the core subjects of mathematics, which has not only very abundant theory, but also wide-ranging applications to several complex function,PDEs,analytic number theory and mathematical physics and so on. In recent years, the applicant has devoted to study important interacting topics related with harmonic analysis and differential operators, and achieved a series of innovative works published on several top international journals including CMP, IMRN and JFA and so on. In this project, the applicant will continue to study the topics related to differential operators by using methods from harmonic analysis, including the dispersive estimates of Schrödinger operator and its applications, as well as heat kernel estimates and spectral multiplier theory. In these studies, we need not only the ideas from harmonics analysis, but also the spectral theory and perturbation techniques from functional analysis.

现代调和分析是数学研究的核心学科之一，其不仅有丰富的理论知识，而且在复变函数、偏微风方程、解析数论以及数学物理等学科研究中有着广泛的应用。近年来，申请者致力于调和分析与微分算子交叉学科的重要论题的研究，取得了一系列重要的研究成果，并发表在CMP、IMRN、JFA等国际重要期刊上。在本项目中，申请者将继续应用调和分析方法对微分算子开展相关研究，其中包括薛定谔算子的色散估计及应用，热核估计与谱乘子理论等重要内容。在研究中，我们不仅需要调和分析的各种思想和方法，也需要泛函分析的谱理论和扰动技术。

现代调和分析是数学研究的核心学科之一，其不仅有丰富的理论知识，而且在复变函数、偏微风方程、解析数论以及数学物理等学科研究中有着广泛的应用。 在项目已执行的四年中，申请者及团队成员围绕项目的研究内容开展工作调和分析与微分算子的交叉研究，取得了一系列相关研究成果，并在“Comm. Math. Phys.-2021”, “Trans. AMS-2020”, “J. Funct. Anal.-2018”, “Siam J. Math. Anal.-2018”, “Siam J. Appl. Math.-2021” 等高水平国际杂志上发表，目前已发表12篇SCI论文（标注本基金号）。主要成果简述如下：首先发展了高阶薛定谔算子的色散估计的重要研究，建立了在零点正则或共振条件高维情形薛定谔方程解的Kato-Jensen估计，并得到了Strichartz估计以及逐点时间衰减估计，所得结果在非线性色散方程的适定性问题研究中有基本的应用。其次证明了非线性薛定谔方程孤立子（Soliton）解与大位势相互碰撞后形状能保持长时渐进的稳定性，发展了著名数学家J. Fröhlich, I. M. Sigal等人的重要工作。最后建立了高阶微分算子一致Sobolev估计，并用来研究带位势高阶薛定谔算子相连的谱乘子Lp有界性，尤其包括广义Bochner-Riesz平均问题。此外，还研究了带Hardy位势分数次算子的色散估计、孤立子大扰动等重要问题，也取得一些待发表的成果，相信后续工作也能引起国际同行的关注，并在高水平杂志杂志上发表。