一类Finsler平均曲率流与各向异性平均曲率曲面的唯一性

We will study the anisotroic mean curvature flow and related constant anisotropic.mean curvature (CAMC) surfaces, which are arisen in physics, material science and.geometry, and is an important part of Finsler geometry. We plan to utilize the.modern PDE and geometric measure theory developed in minimal surfaces and CMC.surfaces, and the epsilon-extension method based on global implicit function.theory developed by applicant to study the multiple connected and high dimensional.as well as non-smooth CAMC hypersurfaces. We will classify the CAMC tori by Jacobi.elliptic and theta functions, and extend Schoen, Simon and Yau’s estimate of.Heinz curvature for minimal surfaces to anisotropic case. Furthermore, we will.study the crystal boundary motion proposed by Taylor, Angenent and Gurtin, and the.regularity and singular set of related Finsler heat flow.

本项目拟研究各向异性平均曲率流以及相关的各向异性常平均曲率（CAMC）曲面。在物理.学和材料科学及几何学中有大量各向异性结构的超曲面问题，是Finsler几何的重要组成部分.。本项目将利用从极小曲面和CMC曲面等发展起来的现代偏微分方程理论以及几何测度理论等.，并结合申请者前期工作中发展起来的基于广义隐函数理论的epsilon-延拓方法，研究多连通.拓扑结构和高维空间中的以及非光滑的CAMC超曲面的存在性和弱解正则性及唯一性，应用Jaco.bi型椭圆函数和theta函数研究CAMC tori的分类问题，推广Schoen，Simon 和Yau等关于的极.小曲面Heinz曲率估计，并进一步研究Taylor， Angenent和Gurtin的结晶体边界运动流的偏微.分方程理论问题，以及相关的Finsler流形上的热流和解正则性以及奇异点集合的性质.

本项目主要研究非齐性和各向异性的几何与物理偏微分方程问题，例如各向异性结构的常平均曲率曲面、非齐性的Schrödinger映射等非线性偏微分方程。 正如同各向同性结构的几何和物理问题一样，各向异性和非齐性结构的几何和物理中的偏微分方程充满了魅力和挑战，是现代数学的前沿课题，在量子场以及广义相对论和黑洞问题等现代物理学和材料科学以及非线性光学中有极其重要的应用，有重要的理论意义和应用意义. 本项目完成了各向异性平均曲率曲面在给定的条件下唯一性的证明并研究了分类问题. 在非齐性的Schrödinger映射的研究中取得了重要进展，建立了新的调和分析方法并证明了非齐性的Schrödinger映射小初值全局解和大初值爆破解的存在性。此外在各向异性非线性椭圆型方程的研究中也取得了较好的结果。