mKdV映射等非线性几何偏微分方程解的正则性理论与奇异解结构

本项目从在Riemannian和 K?hler流形取值的非线性几何方程与non-stretching曲线流的关系出发，研究mKdV映射等非线性几何方程解的定性理论与奇异解的结构；在Coulomb gauge 与 Tao caloric gauge的基础上找到合适的gauge方法，利用Bony仿积分解和Littlewood-Paley分析等调和分析方法，结合Burq-Gerard-Tzvetkov的Laplace-Beltrami谱投影与紧流形上双线性Strichartz估计工作，证明mKdV映射和Schr?dinger 映射等非线性几何方程与相关导数型非线性Schr?dinger 方程在最佳Sobolev空间中整体解的适定性；研究非线性Damping-Wave方程和非线性Schr?dinger-Wave方程解的渐进行为。

本项目研究了一般的Heisenberg方程,这是一类重要的mKdV方程，也是无穷可积理论研究的重要对象。通过运动标架和广义Hasimoto变换可以转化为变系数非线性Schrodinger方程.由于变系数f(x),Fourier变换和相应的调和分析方法不再适用.本项目课题组发现新的Hankel变换和相应的频率分解方法，在适当的加权Sobolev空间中对其中一类广义非线性Schroding映射和mKdV映射的Strichatz估计的研究中取得了进展，证明了相应的非线性变系数Schrodinger方程的新的Strichartz估计，并由此得到解的存在性，在此基础上，开展了相应mKdV映射的存在性和爆破问题以及在Sobolev 空间中整体解的适定性..本项目研究了非线性阻尼波方程（Damping-Wave） 方程解的渐进行为，取得到了如下的成果：（1）对于阻尼项系数仅依赖于时间、且具非线性溢出项的阻尼波方程，首次将超临界情形下小初值解的全局存在性推广到了阻尼项系数缓慢增加的情况；推广和改进了现有的微分不等式法，并利用该方法首次得到了小初值对全局解存在的必要性。并进一步地证明了临界及次临界情形下满足一定条件的初值所产生的解的爆破性，从而首次获得了阻尼波方程领域中完整的“Fujita型”结论。（2）对于阻尼项系数依赖于时空、且具非线性吸收项的阻尼波方程，根据时空位势的特点，将时空分区，对解进行估计，将Nishihara等人的结果首次拓广到了一般时空的位势的方程；在局部解的基础上，利用加权的能量方法得到了次临界、临界及超临界情形下的衰减估计，以及解的全局存在性。