微分方程中的孤立不变集

In the qualitative theory of differential equations, a basic problem is the study of isolated invariant sets. Because if we study the isolated invariant set clearly, including the existence, location, internal structure and the behaviour of trajectory, then we can obtain the global structure of the equation. From the qualitative point of view, we know the equation clearly. This project includes: (1) Isolated invariant sets of the deterministic differential equations. In 1970s, the famous mathematician C. Conley introduced the chain recurrent set. It contains non-wandering point sets. We will find some new isolated invariant set, and apply these new isolated invariant set to study Lipschitz ergodicity and generalized ergodicity. In the meanwhile, we study isolated invariant set and global structure on partial hyperbolic dynamical systems. (2) Random periodic solutions of stochastic Burgers equation. The study of stationary solutions has made many outstanding achievements, but there is few work on the study of other types of isolated invariant sets. We mainly study the existence of random periodic solutions. (3) Sufficient and necessary conditions for the existence of isolated invariant sets in delay differential equations.

在微分方程定性理论中,一个基本课题是研究孤立不变集. 因为如果将孤立不变集研究清楚, 包括存在性,位置,内部结构以及它周围的轨线性态,就可以得到该方程的全局结构.从定性的角度可以认为已将该方程研究清楚.本项目包括三部分内容: (1)确定性微分方程中的孤立不变集. 二十世纪七十年代, 著名数学家C. Conley引入链回复集, 它包含非游荡点集. 我们将寻找一些新型孤立不变集，应用这些新型孤立不变集研究Lipschitz各态历经和广义各态历经，同时研究部分双曲动力系统的孤立不变集和全局结构。（2）随机Burgers方程中的随机周期解。平稳解的研究已经取得许多杰出成果，但对其他类型孤立不变集的研究成果还很少。我们将主要研究随机周期解的存在性。（3）研究时滞微分方程中存在各种孤立不变集的充分必要条件。

1.确定性动力系统中的孤立不变集。.假设一个X是一个紧度量空间，P是X的概率测度，(X,P)是完备概率空间。考虑X到自身的连续但不可逆的函数f，我们得到了两类新的闭不变集，利用这两类闭不变集我们分别给出了Lipschitz各态历经和广义各态历经的充分必要条件。我们给出了一个新的唯一各态历经的充分必要条件，并讨论了拓扑动力系统中遍历测度和物理测度的特性。研究了多重遍历极限，在一定条件下，建立了子列的几乎处处收敛，并对一类不连续斜积动力系统和一类不连续观测函数，建立了一致性遍历结果。.Smale马蹄的出现，是现代动力系统的重要结果。人们自然要问：这两类系统是否在C^1的向量场中稠？这就是C^1弱Palis猜测：Morse-Smale向量场和有马蹄的向量场在C^1的向量场中稠。我们证明了R^n中无奇点流的C^1弱Palis猜测是正确的。对于有奇点流，目前还是公开的。.2.随机动力系统中的孤立不变集。.我们引入了弱随机周期解和弱随机周期测度的定义，得到了存在弱随机周期解的充分必要条件，证明了存在弱随机周期测度的充分条件。引入了随机概周期解和随机概周期测度的定义，并分别给出了存在随机概周期解和随机概周期测度的充分条件。对于非自治随机微分方程，给出了存在随机周期解的充分条件。对于随机Burgers方程，我们给出了存在随机周期解的充分条件。.3.时滞微分方程在蚊媒疾病领域中的应用。. 我们研究了WNV（West Nile Virus），利用以上结果，得到了酉Nile蚊媒导致的传染病的传播速度。2019年，海南省海口市爆发了登革热疫情，我们利用以上结果研究疫情传播速度和边界，得到了影响海口（2019）登革热疫情传播速度的若干因素。.此外，我们主持召开了一个国内学术会议和一个国际学术会议。培养了4名博士。现有一个成员到美国做学术访问半年。现在正在带一名博士后，4名博士生和两名硕士生。