两类非标准随机环境中随机游动的极限性质

Random walk in random environment is an important and a popular field of probability theory, and extensively used in the areas of statistic physics, biological mathematics.. We will consider two models. The first one is skew random environment model. In the first part, we will study the scaling limit of the process. We hope to construct a sequence of skew Sinai's walk and prove it convergence to the diffusion process in a skew Brownian motion environment by proper scaling. In the second part, we will give the accurate velocity of the process. The second one is near-critical random walks in random environment. In the first part, we will give the stable low of the process. In the second part, we will give the sub-linear accurate velocity of the transience model. In the third part, we will study the functional limit theorems of the hitting time of the recurrence model.

随机环境中的随机游动是概率论的重要分支，也是近年来概率研究的前沿热点领域，在统计物理、生物数学等中有重要应用。. 本项目的研究内容分为两个部分：一、带斜点的随机环境模型。首先，研究带斜点Sinai's游动的重整化。即构造一列带斜点Sinai's游动，使其经过适当的重整化收敛到位势为带斜点Brown运动的扩散过程；其次，准确刻画带斜点随机环境中随机游动的渐进速度和极限分布。二、近临界随机环境中的随机游动。首先，给出近临界随机环境中随机游动的稳定律，证明在不同的扰动下，游动经过适当的规范化会以不同的速度依分布收敛于非退化的稳定分布；其次，对于暂留的近临界随机环境中的随机游动，精确刻画其趋于无穷的次线性速度；再次，研究常返的近临界随机环境中的随机游动首中时的泛函极限定理。

申请人考虑了两类带渐近扰动的随机模型.一类是带渐近扰动的非紧邻随机游动,考虑其常返暂留性,并给出该模型正常返性的判别.另一类是带渐近扰动的随机环境中分枝过程,通过分析其相关随机游动的极限行为,给出分枝过程灭绝和不灭绝的判别条件.申请人还研究带形上的近临界随机游动,借助游动常返暂留性判别准则的显式表达,通过带扰动的线性差分系统的解的渐近性理论,以及矩阵的范数性质,在扰动矩阵不同的阶的条件下,给出了游动常返暂留性的判别.此外,申请人和其合作者还研究了由补偿泊松随机测度驱动的随机Burgers方程.在某些适当的条件下,我们研究方程解的指数稳定性,还举例说明结果的应用.