组合序列的单峰型性质

In recent years, most researchers are interested in the combinatorial properties of polynomials with integer coefficients. Indeed, the study of the unimodal properties of combinatorial polynomials is one of the most active fields. There are many applications of unimodal properties, such as unimodality, log-concavity, log-convexity and so on, all of which play an important role in Combinatorics, Analysis, Algebra, Number theory, Computer science, Economics, et al.. We'll mainly study the unimodal properties of combinatorial polynomials. Especially, we will study the log-concavity of higher order and the real zeros of polynomials. We will mainly using Maple as a tool, apply algebraic approaches (such as the recurrence relations, the generating functions of the combinatorial structure), and combinatorial methods (bijection) to finish our study.

近年来，随着组合数学的发展，整系数多项式的组合性质越来越引起组合学者们的兴趣，而对组合多项式的单峰型性质的研究更是近年来组合数学研究中的热门方向之一。单峰型性质具体包括单峰性、对数凹性、对数凸性、实根性等，这些性质在组合、分析、代数、数论以及计算机科学、经济学等学科中都有不少的应用。. 本项目主要研究组合多项式的单峰型性质，重点研究是根不全实数的多项式的高阶对数凹性质和实根性质及相关问题。在研究中，我们将以Maple等数学软件为工具，综合运用代数方法（如研究组合结构的递推关系、生成函数等）和组合方法（如双射证明等）来开展我们的研究。

项目主持人在本项目的资助下，与项目组成员在(n-2)栈排序排列和标号格路之间建立了一个双射，在这种双射下，给出了带有k个下降数的(n-2)栈排序排列的对数凹性一个直接的组合解释，并且，我们在带有k个下降数的(n-2)栈排序排列和(k-1)维的单纯复形之间建立的一一对应，利用这个模型，我们给出了(n-2)栈排序排列的对数凹性的一个组合证明。我们在解决Boros-Moll 多项式q-对数凸性方面也已取得一些进展。