基于序列比率的组合性质研究

The theory of combinatorial properties of sequences is one of the most active fields in contemporary combinatorics, which has numerous natural connections to other branches of mathematics, that is exactly the reason why many well-known combinatorialists, including Professor Richard P. Stanley who gave a plenary lecture in the International Congress of Mathematics, are interested in it..This project focuses on using the theories of mathematics mechanization and algebraic combinatorics, starting from studying the ratios of sequences, to investigate combinatorial properties of sequences. Applying the methods of mathematics mechanization, we aim to determine the upper bound and lower bound of the ratios of any two successive terms in the Boros-Moll sequences, based on which, we shall characterize the combinatorial structures of the Boros-Moll sequences. Furthermore, the methods in algebraic combinatorics allow us to study the invariable theories of the ratio monotonicity and the interlacing log-concavity under the action of certain operators. Our ultimate purpose is to investigate the combinatorial properties of infinite sequences, for which we combine the mathematics mechanization and analytic combinatorics together, to derive the recurrence relations of the terms via constructing intermediate functions and finding new algorithms..In the process of executing this project, we anticipate that by the methods mentioned in this project, we can not only discover the underlying combinatorial properties of these sequences, but also describe the combinatorial structures of these sequences and eventually intensify the bonds to mathematics mechanization.

序列的组合性质理论是当前组合数学的研究热点之一。该课题与其它多个数学分支有着重要的联系，吸引了包括国际数学家大会一小时报告人Richard P. Stanley教授在内的众多知名组合学家的研究兴趣。. 本项目旨在利用数学机械化方法和代数组合理论从序列前后项比率的角度研究序列的组合性质。利用数学机械化方法，我们将确定Boros-Moll序列前后项比率的上界和下界并利用上述上界和下界，细致刻画Boros-Moll序列的组合结构；利用代数组合手段，我们将系统研究比率单调性和交错对数凹性在某些算子作用下的不变性理论；我们将尝试把数学机械化方法和组合分析结合起来，构造中间函数,寻找新的算法，计算递归关系，研究无穷序列的组合性质。.在项目的实施过程中，我们期望利用申请书中的方法，不仅能够发现这些序列满足的组合性质，刻画出序列的组合结构，而且能进一步深化该领域与数学机械化方法的联系。

序列的组合性质是当前组合数学研究的热点问题之一。按照研究计划,我们主要对Boros-Moll序列的组合性质, 序列组合性质在某些算子作用下的不变性，无穷序列的组合性质和算术性质三个方面进行了研究,证明了多个猜想, 在包括《Proc. Edinburgh Math. Soc.》，《European J. Combin.》，《J. Number Theory》，《Acta Arith.》，《Ramanujan J.》，《Electron. J. Combin.》，《Discrete Math.》等期刊上发表了22篇论文，全部发表在SCI期刊上。主要进展如下：..1．Boros-Moll 序列的组合性质。近年来，Boros-Moll序列的组合性质吸引了组合学家的研究兴趣。 申请人与陈永川院士合作证明了由欧洲科学院院士Paule等人提出关于Boros-Moll序列满足二重对数凹性质的猜想和由Moll教授提出的Moll最小值猜想。此外，我们还刻画了Boros-Moll序列的凹凸性，相关结果强于由Moll教授证明的单峰性。 ..2．序列组合性质的不变性。在这方面，我们给出了组合序列的n次方根所构成的新的序列满足对数凹性质的一个充分条件，我们的方法依赖于序列比率的上下界和中间函数，而不依赖于序列的递归关系。利用这一充分条件，我们证明了孙智伟教授提出的两个猜想。 ..3．无穷序列的组合性质和算术性质。我们主要研究了满足一些递归关系的序列的组合性质和整数分拆序列的算术性质。在无穷序列的组合性质方面，我们给出统一的认证，通过计算满足三项递归关系序列的前有限项就可以验证序列是否满足对数凸性。利用这个方法，我们证明了孙智伟教授提出的一个猜想。在分拆函数的算术性质方面，申请人与陈永川教授合作证明了Sellers和Hirschhorn教授提出的关于overpartitions的猜想。申请人还证明了由Keith提出的两个关于9-regular分拆序列的猜想。同时，申请人通过构造恒等式，证明了由Radu和Sellers提出的关于7-core分拆序列的猜想和由Baruah和Sarmah提出的广义6着色Frobenius分拆序列的猜想。此外，我们通过集合理论，构造Liouville教授建立的五个公式的组合证明。