各向异性高效非协调混合有限元方法研究

研究各向异性非协调混合有限元的构造、理论分析及数值计算的框架；重点解决好自由度少、精度高的低阶非协调元对诸如非线性积分- - 微分、Navier-Stokes、热传导对流方程、对流扩散方程及结构特殊的Maxwell方程等有难度问题的应用；研究新构造的插值算子（包括后处理算子）在各向异性剖分（尤其是三角形及任意四边形剖分）下的适定性、稳定性以及LBB条件等，并通过新的技巧，导出相应的最优的误差估计、超逼近、超收敛及后验估计等结果。尝试探索各向异性元的多重网格及区域分解等新方法。提升各向异性有限元研究各个方面的数学品位。由于我们较早在国内开展这一独具特色且有挑战性的工作，国际上在这方面的相关报道也很少，其创新性和突破性进展对丰富和发展非协调有限元的内容有重要的理论意义和应用价值。

各向异性有限元研究是该领域独具特色、有很大挑战性的的热点和难点之一。本项目重点解决了自由度少、精度高的低阶非协调元对诸如非线性积分--微分方程、Navier-Stokes方程、Sine-Gordon方程、热传导对流扩散方程、流体磁力学方程组、结构特殊的Maxwell方程、变分不等式等难度问题的应用；对新构造出的插值算子(包括后处理算子), 在比著名学者Th. Apel等提出的更弱的各向异性三角形及四边形剖分条件下，研究了关键的适定性、稳定性以及LBB条件等，并通过创新性技巧和方法，导出了相应的最优误差估计、超逼近和超收敛结果(特别是对线性Crouzeix-Raviart型三角形非协调有限元)。另一方面，鉴于现有的定理无法应用于Morley元各向异性特征的判别，我们采用新的思路证明了该元在各向异性矩形网格下同样可以得到最优误差估计。同时，探索设计出了非协调元的一些新计算方法(如稳定化方法、浸入有限元法、加罚法及辛算法等)并对其优缺点、适用范围等特质进行了细致的对比分析。另外，通过大量的数值算例验证了方法的高效性。. 总之，通过这三年的努力，我们在本项目中初步建立起了各向异性高性能非协调混合有限元方法的单元构造、理论分析及数值计算的一般性框架，设计出了一批具有自身特色的数值计算软件，圆满完成了各项计划和任务。由于国际上在这方面的报道很少，本项目组所取得的创新性和突破性成果对丰富和发展各向异性非协调混合有限元的内涵有着重要的理论意义和应用价值。