基于微分特征列集和Groebner基的偏微分方程的对称机械化算法

At present, Many significant natural sciences and engineering problems can be attributed to the research of differential equations. The main research projects of differential equations are partial differential equations (PDEs). Many methods for solving PDE have been proposed, but there is no a unified and systematic method that can be used to deal with all types of NLPDE, and also various methods have their own scope. We all know that the symmetry method is the most universal method in many methods, many traditional methods become its special cases. The investigations of the symmetry theory and approach have important theoretical and practical significance in modern mathematics, physics, mechanics and so on. In this project, we study the mechanized algorithm to symmetry of PDEs based on differential characteristic set and Groebner basis. Specific studies include: 1. We expand the original symmetries of PDEs by using the generalized symmetries (the nonclassical symmetries and the potential symmetries), and construct new invariant solutions by using new symmetries; 2.We study the applications of symmetry classification to PDEs; 3. We study the optimal system of PDEs and classifying reduce PDEs, calculate invariant solutions. The research is also a new research direction of the differential characteristic set and Groebner basis. We extend the application of Wu’s method and Groebner basis, and further promote the investigations of symmetry theory by studying the project.

目前很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为微分方程的研究，而微分方程研究的主体是偏微分方程（组）（PDEs）。为了求解PDEs人们提出了众多求解方法，诸多方法中Lie对称是公认的普适性最广的方法，它以诸多传统方法为其特例。目前PDEs对称理论和方法的研究在现代数学、物理和力学等学科中有重要的理论和实际意义。本项目将研究基于微分特征列集和Groebner基的PDEs对称机械化算法，在两个算法的框架下深入研究PDEs对称。具体研究内容有：1.利用广义对称(非古典对称和势对称)扩大PDEs拥有的对称，并且利用新的对称构造PDEs的新不变解；2.研究对称分类在PDEs中的应用；3.研究PDEs最优系统，并对PDEs进行分类约化，计算其不变解。这项研究是微分特征列集和Groebner基的最新研究方向。通过该项目的研究，我们将扩展吴方法和Groebner基的应用，并且进一步促进对称理论研究。

目前很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为微分方程的研究，而微分方程研究的主体是偏微分方程（组）（PDEs）。为了求解PDEs人们提出了众多求解方法，诸多方法中Lie对称是公认的普适性最广的方法，它以诸多传统方法为其特例。目前PDEs对称理论和方法的研究在现代数学、物理和力学等学科中有重要的理论和实际意义。本项目基于微分特征列集算法研究了PDEs对称以及非线性PDEs的各种求解方法。具体研究内容有：(1)基于微分形式吴方法理论及算法，给出了无需确定对称Lie代数本身而事先构造其同构像(具有同结构常数的Lie代数)的机械化算法。该算法有效提高构造PDEs对称Lie代数的效率，并可应用于对称Lie 代数各类性质的机械化分析和判定。给出算例验证了算法的有效性。除此之外，我们提出了一种计算PDEs对称的吴方法(微分特征集算法)，它为求解PDEs的古典对称和非古典对称提供了一种直接而系统的方法。(2)基于微分特征列集算法，利用广义对称(非古典对称和势对称)扩大了PDEs拥有的对称，并且利用新的对称构造了PDEs的新不变解，重要的是这些解不能由方程的古典对称得到。(3)基于微分特征列集算法，研究了PDEs对称方法和对称分类在非线性PDEs边值问题中的新的应用。这项研究是对称理论和吴方法应用的新研究领域，推广了对称方法和吴方法的应用范围。得到的结果充分体现了对称方法在非线性PDEs应用中的优越性。(4)研究PDEs的群不变解及其对称约化有极其重要的意义，最优系统可以大大的减少求解群不变解的计算量，能使有效的对方程进行对称约化。我们基于微分特征列集算法，研究了PDEs最优系统，并对PDEs进行分类约化，计算了对应的不变解。(5)为了更好的研究非线性PDEs的求解方法，除了对称方法的研究以外，我们还研究了求解非线性PDEs精确解的直接方法，获得了丰富的结果。(6)我们基于双线性方法和神经网络模型，首次提出了求解非线性PDEs精确解析解的双线性神经网络方法，该方法可以灵活的构造各种精确解析解。(7)研究了Groebner基在非线性PDEs精确解研究中的应用。