偏微分方程对称分类、扩充和判定问题及其微分特征列集算法

对称方法是研究偏微分方程(PDEs)各类问题的一个重要方法。PDEs对称分类、对称扩充和对称存在性的判定等是该方法中的关键基础问题，但到目前仍未得到很好解决。我们研究发现微分特征列集(吴方法)理论和算法是研究PDEs对称及相关问题的非常有效的理论和算法工具。本项目将以该理论和算法为基础，在已有前期对称计算方法的研究基础上，研究上述几个问题，建立相应的机械化算法和理论，并探索解答公开问题。主要研究思路是把这些问题转化为微分多项式组的相关问题，然后用微分特征列集理论和算法克服其中存在的困难。为此我们还研究提高微分特征列集算法效率。项目的目标是获得有效的对称扩充，分类和判定机械化算法，提高对称方法效率，并应用于具体数学物理方程相关问题的研究中。同时,发展微分形式吴方法理论，促进其微分问题中广泛应用。该研究项目是数学机械化和数学物理等学科交叉内容。项目研究内容、方法和思路都具有学科前沿性和原创性。

摘要.本项目中以微分特征列集(吴方法)理论和算法为基础，在已有前期对称计算方法的研究基础上，研究了PDEs对称分类、对称扩充和对称存在性的判定等对称方法的基础性问题。取得良好的学术成果：.⑴建立了相应的机械化算法和理论，并给出了非经典对称存在性和波动方程非经典对称的完全分类两个公开问题的一种解答。该成果是本项目对对称和微分特征列集方法研究的重要的贡献（见成果[1-6]）；⑵给出了对称方法和Adomian和同伦分解算法相结合求解偏微分方程初边值问题近似解析解的混合算法[7-17，43-48]。成果论文[13]国际上被引用12次，被ESI收录；⑶获得了可积耦合方法和( 超)Lie代数构造守恒律等结构的创新研究成果，为进一步研究对称扩充问题打下了基础[18-25，34-42]；⑷获得了关于Lie代数基础理论的创新研究成果[26-33]；⑸编制完善吴方法、对称计算和Lie代数性质的程序包，发展了微分形式吴方法理论，拓展了其在微分问题中的新应用[49-51]。.主要研究思路是把这些问题转化为微分多项式组的相关问题，然后用微分特征列集理论和算法克服其中存在的困难。取得的成果说明这个研究思路和算法理论是有效的。项目研究内容、方法、思路和成果都具有学科前沿性、高质量和原创性。