基于特征列与Groebner基内蕴关系的消去理论和方法

Polynomial elimination theory studies how to reduce arbitrary systems of multivariate polynomials to equivalent systems with desired algebraic structures by means of variable elimination, triangularization, and decomposition. It is a fundamental tool for computational commutative algebra and algebraic geometry, is a core direction of research in symbolic computation, and has diverse applications in geometric reasoning, cryptography, and many other areas of science and engineering. Most popular elimination methods are based on characteristic sets, triangular decomposition, and Groebner bases...Recent research of the proposer shows that there are very deep and inherent connections between Ritt characteristic sets and lexicographic Groebner bases. This project is devoted to developing new and powerful theories and methods of polynomial elimination that combine the advantages of both characteristic sets and Groebner bases by exploring inherent relationships and substantial differences between characteristic sets and Groebner bases. Specific problems of research include inherent relationships between characteristic sets and Groebner bases, structural properties of lexicographic Groebner bases, construction of abnormal Ritt characteristic sets, and characteristic decomposition of polynomial systems. It is hoped that the outcome of research in the frame of this project will have a profound impact on the combination of characteristic sets and Groebner bases.

多项式消去理论研究如何通过消元、整序、分解将任意多元多项式系统化为具有特定代数结构的等价系统。它是计算交换代数与代数几何的基础，是符号计算的核心研究方向，在几何推理、密码学等科学与工程领域有广泛应用。目前流行的消去法主要基于特征列、三角分解和Groebner基。..申请人的最新研究表明，Ritt特征列与字典序Groebner基之间有着非常深刻的内在关联。本项目拟通过挖掘特征列与Groebner基的内蕴关系，研究并揭示两种不同理论和方法的本质差异，从而发展、建立融合两者优势、性能良好的多项式消去理论和方法。具体研究内容包括特征列与Groebner基的内蕴关系、字典序Groebner基的结构性质、非正规Ritt特征列的构造以及多项式系统的特征分解。申请人希望本项目的研究工作对特征列与Groebner基的融合产生深远影响。

多项式消去理论是符号计算领域的核心研究方向，在几何造型与密码学等科学与工程领域中有广泛应用。本项目通过研究特征列与Groebner基之间的内蕴关系，提出了同时包含约化字典序Groebner基及其最小三角列的特征对的新概念，它可以同时提供多项式理想的两种互动丰富的表示形式。以特征对概念为基础，我们利用上述内蕴关系提出了将任意多项式组分解为正则、正规和强特征对的各种算法，并进行了程序实现和实验。实验结果表明，新提出的特征分解除本身的良好性质外还能有效控制其分支数目。.本项目取得的主要研究成果可以概括为：(1)创建了特征分解的基本理论和方法，(2)设计、实施了正规和正则特征分解的高效算法，(3)设计、实施了特征分解的强化算法，(4)提出了多项式组的综合特征分解方法，(5)发展了基于弦图、自上而下消元的三角分解方法。这些工作系统地建立了多项式组基于特征列与Groebner基内蕴关系的新消去理论与特征分解方法。.围绕项目的研究主题，项目组成员在《Mathematics of Computation》和《Journal of Symbolic Computation》等国内外知名期刊、ISSAC和CASC等符号计算领域的国际学术会议上发表学术论文共16篇，主办了包含ISSAC 2019在内的国际学术会议3次和小型学术研讨会1次，参与组织国内外学术会议10次，参加国际学术会议6次，邀请国际同行来华进行学术交流访问3人次。围绕本项目的研究内容合作指导博士后1名，培养博士3名、硕士6名。