曲界面与变系数问题优化施瓦兹方法理论及应用

Among the family of domain decomposition methods, optimized Schwarz methods (OSMs) have attracted considerable attention since they can remarkably accelerate the convergence of subdomain iterations. Generally, the OSMs are analyzed using Fourier transform. As a consequence, the OSMs have the following drawbacks: they are not applicable to both the domain decompositions with curved interfaces and the PDEs with variable coefficients. In order to remedy these defects, we would like to investigate the overlapping and the non-overlapping OSMs for both domain decompositions with curved interfaces and the problems on heterogeneous media (described by PDEs with variable coefficients). We will look for the optimized transmission conditions that are simple and efficient, analyze the asymptotic convergence behavior of the corresponding OSMs, and at last numerically solve applications such as the multi-physics coupling model using the new theory of OSMs. The outcomes will greatly enrich the theories of OSMs, enhance their performance, widen their applications and play key roles for many model problems in scientific and engineering computing.

优化施瓦兹方法可以显著加速子问题迭代的收敛速度，是备受关注的区域分解算法之一。 优化施瓦兹方法通常以Fourier变换为基本分析工具，因而具有如下两个明显的局限性: 1.不适用于曲界面区域分解下的模型问题；2.不适用于变系数的偏微分方程模型问题。本项目研究旨在克服优化施瓦兹方法的局限性，研究曲界面区域分解下的模型问题以及异性介质问题(变系数偏微分方程模型)的重叠型与非重叠型优化施瓦兹方法，寻找简单高效的优化传输条件，分析相应算法的渐近收敛行为，并将理论结果应用于多物理耦合模型等物理问题的数值分析中。项目研究将极大地丰富优化施瓦兹方法的算法理论，提高算法性能与计算效率，拓宽其适用范围，在科学与工程计算的若干模型问题中将有重要的应用。

优化施瓦兹方法是备受关注的区域分解算法之一，但由于标准的优化施瓦兹方法以Fourier分析为基本工具，因而不适用于曲界面区域分解和变系数偏微分方程模型问题。本项目旨在克服优化施瓦兹方法的局限性，研究具有曲界面区域分解下的模型问题以及变系数偏微分方程模型的重叠型与非重叠型优化施瓦兹方法，以及优化施瓦兹方法在多物理耦合模型等物理问题的应用。我们提出使用变量分离方法替代Fourier分析，针对抛物线界面、椭圆界面情形，以渐近分析为工具导出了重叠与非重叠施瓦兹区域分解算法的多种优化传输条件。针对变系数模型问题的重叠型与非重叠型施瓦兹区域分解，采用变量分离技术与斯图姆-刘维尔特征值理论，提出了多种高效界面传输条件并进行了优化。综合上述结论，形成了曲界面与变系数模型问题的优化施瓦兹计算方案。针对Stokes-Darcy耦合问题、Helmholtz问题、四阶微分方程等应用问题，研究了优化施瓦兹方法的理论分析及其算法思想在松弛迭代、波形松弛算法等领域的应用，为优化施瓦兹方法在工程物理等现实应用奠定了理论基础。