有限维广义Cartan型模李超代数的(α,β,γ)-超导子

This project will be concerned with a class of generalized superderivations called (α,β,γ)-superderivations for finite-dimensional generalized modular Lie superalgebras W(n,m), S(n,m) and H(n,m) of Cartan type. W(n,m) is a class of generalized modular Lie superalgebras of Witt type contained in the set of all superderivations of U, where U is the tensor product by the Grassmann algebra in n variables and the truncated polynomial algebra in m variables. S(n,m) is a class of generalized modular Lie superalgebras of special type and H(n,m) is a class of generalized modular Lie superalgebras of Hamiltonian type. They are subalgebras of W(n,m). Firstly, structures of centroids, quasicentroids and δ-derivations for W(n,m), S(n,m) and H(n,m) will be obtained, respectively. Then the super-spaces of (α,β,γ)-superderivations for W(n,m), S(n,m) and H(n,m) will be determined. Secondly, relations between a special case of generalized 1-cocycles (called 1-twisted cocycles) and (α,β,γ)-superderivations will be got. Finally, low-dimensional twisted cocycles of the adjoint representation for W(n,m), S(n,m) and H(n,m) will be investigated in detail.

本项目将研究有限维广义Cartan型模李超代数W(n,m)、S(n,m)与H(n,m)的一类称为(α,β,γ)-超导子的广义超导子。W(n,m)是一类包含在U的所有超导子集合中的广义Witt 型模李超代数, 其中U是n元Grassmann代数与m元截头多项式的张量积。S(n,m)是一类广义特殊型模李超代数而H(n,m)是一类广义Hamiltonian型模李超代数。它们都是W(n,m) 的子代数。首先将分别得到W(n,m)、S(n,m)与H(n,m)的型心, 拟型心与δ-超导子的结构。进而将决定W(n,m)、S(n,m)与H(n,m)的(α,β,γ)-超导子空间。其次将得出一种特殊的广义1-上循环(被称为1-扭曲上循环)与(α,β,γ)-超导子的关系。最后还将对W(n,m)、S(n,m)与H(n,m)关于其伴随表示的低维扭曲上循环进行详细的研究。

鉴于有限维广义Cartan型模李超代数的结构与表示理论中尚有许多待研究问题，且广义导子超代数在模李超代数结构中占有重要的地位，因此本项目对有限维广义Cartan型模李超代数W(n,m)及其子代数S(n,m)与H(n,m)的(α,β,γ)-超导子进行了研究。.项目的主要研究内容如下：.① 研究了这三类模李超代数的型心和拟型心。.② 研究了这三类模李超代数的δ-超导子与(α,β,γ)-超导子。.③ 研究了与(α,β,γ)-超导子相对应的低维扭曲上循环结构。.在项目执行期间，项目负责人及其合作者得到如下结果：.① 给出了这三类模李超代数的型心和拟型心具体形式。.② 得到了这三类模李超代数没有非平凡的δ-超导子，并给出了它们(α,β,γ)-超导子的各种情况。.③ 为研究这三类模李超代数低维扭曲上循环，项目组研究了模李超代数的广义简约Verma模。.在本项目的资助下，项目负责人及其学生以及他们的合作者共完成了2篇论文，其中发表SCI 论文1篇，国内期刊论文1篇。.基于导子超空间的知识, 李超代数的许多几何和代数性质可以很好的被研究。超导子还被用来研究物理学中粒子交的问题。而广义超导子在研究李超代数的潜在性质中起到了极其关键的作用。其研究结果对李理论本身，以及相关数学与理论物理的各个分支的发展都具有促进作用。