广义Cartan型模李超代数的构作与阶化模

Modular Lie superalgebras, i.e., Lie superalgebras over a field of prime characteristic, have important applications in the research of quantum mechanics, conformal field theory and other branches of mathematics. The research on modular Lie superalgebras just began in recent years. Many important results were obtained in the structures and representations of modular Lie superalgebras at present. Since the classification of the finite-dimensional simple modular Lie superalgebras has not been resolved, constructing new modular Lie superalgebras and then studying their structures and properties are significant for the classification of modular Lie superalgebras. In our preliminary work, we constructed three classes of new generalized modular Lie superalgebras of Cartan type. Relative to the known eight classes of modular Lie superalgebras of Cartan type, we can infer that there are other types of generalized modular Lie superalgebras of Cartan type. We will construct other classes of generalized modular Lie superalgebras of Cartan type, and carry on a further research on their structures. At the same time, the graded modules for the modular Lie superalgebras of Cartan type will be determined.

模李超代数，即素特征域上的李超代数，在量子力学、共形场论以及其它数学分支有着重要的应用。模李超代数的研究起步较晚，目前在模李超代数的结构与表示方面取得了重要的研究成果。由于有限维单模李超代数的分类问题尚未解决，因此构造新的模李超代数进而研究其结构及性质等将对模李超代数的分类具有重要意义。我们在前期工作中已构造出了三类新的广义Cartan型单模李超代数，相对于已知的八类Cartan型模李超代数而言，可推断还存在其它类型的广义Cartan型模李超代数。本项目拟构造其余类型的广义Cartan型模李超代数，并对其结构进行深入研究。同时，确定Cartan型模李超代数的阶化模。

模李超代数，即素特征域上的李超代数，在反射理论、量子场论以及其它数学分支有着重要的应用。模李超代数的研究起步较晚，有限维单模李超代数的分类问题尚未解决，因此构造新的模李超代数进而研究其结构、性质等将对模李超代数的分类具有重要意义。本项目主要构造了一类广义Cartan型模李超代数，并对已构造的几类模李超代数的结构及性质进行了研究。具体包括以下几个方面：1.利用截头多项式与Grassmann超代数做张量积，构造了一类广义有限维Cartan型模李超代数。2.研究了有限维模李超代数O的结合型、二阶上同调群、偶部及滤过。研究了无限维模李超代数O的超导子代数。3. 在无限维情形下，研究了模李超代数 Γ 的滤过。讨论了有限维模李超代数 Γ 的偶部导子。研究了无限维 Ω-型模李超代数的超导子代数。4. 研究了几类Cartan型模李超代数的阶化模。5. 扩展研究了Hom-李环的幂零条件、阿贝尔Hom-李环扩张的自同构及限制hom-Lie代数的相关性质。6. 扩展研究了时标上指数函数nabla-微分的变分法。