随机系数回归模型的最优设计与稳健设计

在社会学、经济学、生物学、医药学、临床医学等许多科学研究中，随机系数回归模型常被用于对同一个试验个体的一项或几项指标在某区域上重复测量所得到的数据的统计分析。如何科学有效地安排试验使得能用少量的试验次数获得对拟合随机系数回归模型具有最有效的统计信息，是本项目的研究宗旨。国际上有关随机系数回归模型最优设计与稳健设计的研究是在近十多年间逐渐兴起的，有关的理论与方法还不能满足实际需求，迫切需要深入与完善。本项目借鉴并发展经典回归模型最优设计与稳健设计的理论与方法，研究具有异方差随机误差的单响应随机系数回归模型的D-，G-，A-，E-，I-及DS-最优设计以及稳健设计；研究多响应随机系数回归模型的D-，G-，A-，I-及DS-最优设计以及稳健设计；研究多响应随机系数回归模型关于响应变量预测以及关于自变量逆预测的最优设计。本项目的研究成果可直接应用于具有群体效应和个体效应并存的科学试验的设计工作.

本项目研究了单响应和多响应随机系数回归模型的最优设计和稳健设计问题。对于具有非齐性随机误差的单响应随机系数回归模型，给出了关于固定效应参数估计在多个准则下的最优设计。对于线性混合效应模型下的固定效应估计、随机效应预测以及对个体未来观察值预测的最优设计问题，用解析方法或数值方法求解最优设计，并利用等价性定理判断解的最优性。对于多响应线性回归模型，利用预测精度（即由预测协方差矩阵构成的实值函数）定义了一类新的最优设计准则，建立了最优设计的一般等价性定理，并对几种特定的线性模型构造了相应的最优设计。对于含有定量变量和定性变量的多响应线性回归模型，证明了乘积设计测度的Fisher信息阵的行列式可分解为分别由两个边际设计测度确定的行列式的乘积，给出了几个含有定量变量和定性变量的多响应线性回归模型的D-最优设计的解析结果。对于随机系数近似线性回归模型，y研究了响应值预测时的最优稳健设计问题， 给出了在方差参数空间上的最大最小和贝叶斯稳健设计, 多个可选模型下的稳健设计以及预测点不确定时的稳健设计. 提出了求各类稳健设计的模拟退火算法，并运用于对纵向艾滋病数据模型响应值预测的稳健设计。