广义协变导数与时空的协变形式不变性研究

This project aims at the invariable properties of various space and times —— the covariant form invariability. On the logic basis of such invariability, the axiomization of the covariant differentiation (tensor analysis) will be realized.. .The starting point of the project is a question: “Base vectors have no covariant derivatives, why?” The research will be directed by the thought of Hilbert’s formalism, the thought of Klein’s “invariabilty under transformation group”, and the thought of Bourbaki’s axiomization, structuralization and unification. The universal invariability of spaces and times will be explored. The following objectives will be approached: (1) The limitation of conventional viewpoint on base vectors will be made clear. (2) The limitation of the core concept, the covariant derivative (connection) in the covariant differentiation (tensor analysis), will be clarified. (3) Based on the Ricci transformation group, the classical concepts of components and base vectors will be unified by the concept of generalized components. (4) The postulation of cocariant form invariability is suggested to keep the symmetric structures of the covariant differential and calculus (tensor analysis) and realize the extension from covariant derivative to generalized covariant derivative. (5) The covariant differential and calculus is reconstructed and simplified through the thought of “invariabilty under transformation group”

申请人以“为什么基矢量没有协变导数？”为切入点，以Hilbert的形式主义思想为导引，以Klein的“变换群下的不变性”思想为基础，以Bourbaki学派的公理化、结构化、统一性思想为依归，探索时空普遍的不变性质。拟达成如下研究目标：（1）澄清先驱们对基矢量概念认知上的局限性。（2）澄清协变微分学（张量分析）中的核心概念——协变导数（联络）的局限性。（3）基于Ricci变换群，引入广义分量概念，形式化地将经典的分量和基矢量概念统一为有机整体。（4）基于协变微分学（张量分析）逻辑结构的对称性构想，提出协变形式不变性，并将其置于基础性和公设性地位，实现协变导数从狭义到广义的延拓。（5）以“协变微分变换群下的不变量”为内容，重塑协变微分学，使其对称化结构达到致精致简。

本项目揭示了各类时空普遍存在的不变性质——协变形式不变性，并以此为逻辑基础，实现了协变微分学（张量分析学）的公理化。. .本项目以“为什么基矢量没有协变导数？”为切入点，以Hilbert的形式主义思想为导引，以Klein的“变换群下的不变性”思想为基础，以Bourbaki学派的公理化、结构化、统一性思想为依归，探索了时空普遍的不变性质。达成了如下研究目标：（1）澄清了先驱们对基矢量概念认知上的局限性。（2）澄清了协变微分学（张量分析学）中的核心概念——协变导数（联络）的局限性。（3）基于Ricci变换群，引入了广义分量概念，形式化地将经典的分量和基矢量概念统一成了有机整体。（4）基于协变微分学（张量分析）逻辑结构的对称性构想，提出了协变形式不变性，并将其置于基础性和公设性地位，实现了协变导数从狭义到广义的延拓。（5）以“协变微分变换群下的不变量”为内容，重塑了协变微分学，使其对称化结构达到了致精致简。..本项目还取得了计划外的研究成果：. .1、创立了协变变分学和广义协变变分学。项目推进过程中，出人预料地发现：（a）经典变分学欠缺协变性。（b）经典变分学与张量微分学之间，既存在概念上的对称性破缺，又存在理论上的对称性破缺。针对缺陷，很快找到了突破口：引入了新概念——虚物质导数、局部变分、协变变分和广义协变变分，建立了协变变分学和广义协变变分学。研究证实：协变微分学与协变变分学完全对称，广义协变微分学与广义协变变分学完全对称。. .2、发展了分形力学，确立了分形/分数阶时空观。在生物多级结构中引入了分形几何，定义了分形胞元，发展了分形力学，证实了具有普遍意义的命题：（1）分数维空间的运动，或分数维空间上的运动，必然诱导出分数阶的时间响应。（2）分数阶算子的阶次，取决于分形胞元的拓扑不变量。..3、发现了血管壁上组织液流动的运动学基本定律，初步证实了血管壁上组织液循环系统的存在性。