具有参数不变性质的几何逼近算法和误差控制的研究

New approximation methods independent of parameterization and the error control are proposed. The main research subjects are presented as follows: 1. New approximation algorithms independent of parameterization. Most existing methods have stability problems because of the over dependency of parameterization. Based on Chebyshev best approximation theory, new idea of approximating the original curve/surface along specified directions is developed. The method yields stable and high-precison approximation to meet the user’s needs. 2. Feature preserving surface constructing algorithm. New forms of reparesentation is employeed in representing surfaces to preserve user-specified geometric curve through moving frame approach. 3. New error estimation methods independent of parameterization. Most common-used error computation has the reliability problem due to the parameterization dependcy. By analysing the error sources of approximation, error measurement along specified directions is proposed. Using the tools of rational Bézier and NURBS curves/surfaces, curve/surface approximation and the error estimation are discussed. Practical problems will firstly be abstracted to some kind of feature-preserving approximation problems, and then be solved using approximation algorithms, assisted by numerical experiments and simulation. The application areas include computer aided design and manufacturing (CAD/CAM), image processing, civil engineering and so on.

本项目研究具有参数不变性质的逼近新技术及误差控制.研究内容包括: 1.研究具有参数不变性质的几何逼近新算法. 大多逼近算法过度依赖参数化导致算法不稳定，基于最佳Chebyshev逼近理论，发展沿特定方向逼近原曲线曲面的新思路，设计出符合用户需求的稳定的高精度算法；2.研究保持特定几何特征的曲面重构新技术. 改进曲面的几何表示，利用活动标架技术，实现近似曲面中包含指定的几何特征；3.研究具有参数不变性质的逼近误差衡量技术.通常使用的误差计算高度依赖参数化导致结果不可靠，分析误差的实际意义，提出沿特定方向衡量逼近误差的新技术. 拟以有理Bézier和NURBS曲线曲面为工具，讨论曲线曲面的逼近，以及误差估计问题.在应用方面，将不同领域的相关实际问题抽象成满足某类保几何特征要求的逼近问题，然后用逼近算法统一处理，并进行数值实验与模拟.应用领域包括计算机辅助设计与制造、图像处理以及土木工程等.

曲线曲面的逼近技术是几何造型中的基本技术，广泛出现在几何设计流程的多个关键环节. 国内外对这一领域的理论和应用研究非常重视. 本项目主要研究稳定可靠高效的几何逼近算法，取得的研究成果主要体现在：1. 将几何逼近算法按是否具有参数不变性质这一特征进行分类. 采用点采样技术时，采得几何点不随参数改变而变化，以及采用最优化理论时，所得最优化结果不随参数改变而发生变化，则该几何逼近算法具有参数不变性质；2. 构造出具有参数不变性质的算法及误差分析. 基于最佳Chebyshev有理逼近思想，发掘出几何逼近的本质，将其推广到沿法矢方向的多项式和有理多项式曲线逼近上，构造出误差分析吻合几何直观解释并且误差精度高、能实现全局误差控制的几何逼近算法；3. 提出了给定约束条件时L2范数意义下的C-Bézier曲面的降多阶最优逼近. 降解的C-Bézier曲面的控制顶点可以用基于C-Bézier基转换矩阵的矩阵运算求得显式解. 在给定边界约束条件下，该方法可以应用于分片连续曲面或细分曲面组合面片. 结果可得到G1连续的分片逼近曲面.