基于PH逼近、Hausdorff逼近和线性逼近的几何逼近研究

Geometric approximation is an important indicator for evaluating CAD modeling systems, which is also an important area of research in computer aided geometric design. In the last twenty years，many scholars focused on the study of geometric approximation and got rich results. There are less results on PH approximation, Hausdorff approximation and linear approximation, although these three geometric approximation are the key technique in geometric modeling. To improve the performance of modeling system and help the designers work conveniently, we are to study the three geometric approximation deeply. PH approximation focuses on the control mesh of rational PH curves, which has variety and interactivity. Hausdorff approximation focuses on the free curves and surfaces with different degree, which keeps geometric characteristics and has high precision. Linear approximation focuses on rational triangle surfaces, which has self-adaption. Finally, we are to find the corresponding application in industrial design through the study. Our research is innovative. The expected research results will not only create certain economic benefit, but also complete the theoretical system of geometric approximation.

几何逼近是评价CAD造型系统功能强弱的重要指标之一，是计算机辅助几何设计的重要研究领域。近二十年来，国内外诸多学者专注于几何逼近的研究，并取得丰富的研究成果。但在PH逼近、Hausdorff逼近和线性逼近这三个研究领域所取得成果很少，而这三类几何逼近恰是几何造型的核心技术。为了提高造型系统的性能，为了方便产品设计人员的操作，本项目拟对这三类几何逼近进行深入研究。PH逼近着眼于有理PH曲线的控制网格技术，逼近效果具有多样性和交互性。Hausdorff逼近着眼于不同次数曲线曲面的几何逼近，逼近效果具有保几何特征性和高精度性。线性逼近着眼于有理三角曲面，逼近效果具有自适应性。通过对这三类几何逼近的研究，挖掘它们在工业设计中的应用。本项目的研究内容具有前沿性。预期研究成果不仅能带来一定的经济效益，对完备几何逼近理论体系也具有重要的推动作用。

几何逼近是评价CAD造型系统功能强弱的重要指标之一，是计算机辅助几何设计的重要研究领域。但在PH逼近、Hausdorff逼近和线性逼近这三个研究领域所取得成果很少，而这三类几何逼近恰是几何造型的核心技术。为了提高造型系统的性能，为了方便产品设计人员的操作，本项目对这三类几何逼近进行深入研究。.（1）结合控制网格技术，给出了低次有理PH曲线的构造方法及其应用，并给出了球面有理PH曲线的Hermite插值。该项研究拓宽了PH曲线在CAD／CAM领域中的应用，如机器人路径设计、数控加工计算等。（2）利用近似Hausdorff逼近具有保几何特征性和高精度性的特性，给出了交互式曲线曲面保几何特征的降阶逼近。该方法可以方便地对降阶曲线曲面进行二次开发设计。（3）给出了C-Bezier三角基与自然基的转换关系，并将之用于C-Bezier曲面的保几何特征的降阶逼近，在造型系统间的数据压缩交换等有应用。（4）给出了一组基于双曲多项式B样条的正交基，在n阶双曲多项式样条空间上构造一组正交基。使用这组正交基可对双曲多项式曲线进行最佳平方的降阶逼近。（5）给出了三角Bézier曲面的等积参数化，等积参数化后的曲面其等参线的分布更加均匀。（6）给出了Bézier 曲线的混合参数化，该混合最优参数化近似于弧长参数化。（7）给出了一种沿法线方向的高精度等距逼近新算法，该逼近与原曲线参数化完全无关，从而保证了逼近的稳定性。（8）给出了图的第三大拉普拉斯特征值的极限点。（9）给出了基于椭球极投影的三维船舶航线真实感绘制，建立一些具有实际意义的算法，如三维航线长度优化算法，多组航线交点求解算法等。最终实现了三维航线的高精度绘制及自动生成。.本项目分别从曲线曲面的PH逼近、Hausdorff逼近和线性逼近这三个方面展开研究。新逼近技术的研究将有助于工业产品的设计开发，同时对完备几何逼近的理论体系也有重要意义。