带Poisson跳随机微分方程的Runge-Kutta方法研究

带Poisson跳的随机微分方程因考虑了随机性和突变性故能更好描述经济学、医学、生态学和电学等领域的客观现象，从而引起人们的广泛关注与研究。一般的，带跳随机微分方程的理论解很难给出，因此构造合适的数值方法给出近似解就尤为必要了。至今，关于这方面的研究主要是基于Euler方法来展开的，但该方法精度较低，收敛速度较慢。本项目将针对带跳随机微分方程，构造统一格式的Runge-Kutta方法，将根树理论、Ito公式和Taylor展式结合起来，发展得到新的三色树理论，并寻求方法的阶条件。进一步，利用该条件构造所需高阶精度的显式、半隐式、隐式方法。最后，将针对具体的Runge-Kutta方法，研究其数值稳定性。通过这些研究，给出稳定的具有较高精度的数值方法以供人们在研究此类方程所对应现象时参考。

本项目首先针对高维多噪声的随机系统，研究了理论解的树展开形式，为数值求解该系统，采取确定项和随机项用不同的级值来构造一般的多层多级Runge-Kutta方法，并研究得到了方法的阶条件。同时，我们利用Fourier变换和矩阵分析的知识给出了多重随机积分一个高效的计算格式，并得到了相应的算法程序。然后，我们提出了一个最小均方误差准则，结合阶条件得到了高效的数值计算方法如SRKI2v1和SRKI3v1，最后，我们也考虑了随机系统的并行算法Parareal方法，该方法不仅是均方稳定的，而且在有限时间区间内是超线性收敛的，无限时间区间内，该算法是线性收敛的。